Question

Um losango tem diagonais 12 cm e 16 cm. . Quanto mede o raio da circunferência inscrita no losango?

Answer 1

As diagonais de um losango o dividem em 4 triângulos retângulos, nos quais os catetos são iguais à metade das diagonais e as hipotenusas são iguais aos lados do losango. A circunferência inscrita no losango terá por raio o mesmo valor da altura de cada um destes triângulos. Assim, se calcularmos o valor da altura de um triângulo retângulo de catetos iguais a 6 cm (c) e 8 cm (b), teremos calculado o valor do raio da circunferência inscrita no losango.
Se traçarmos a altura deste triângulo, obteremos sobre a hipotenusa o ponto H, e ele ficará dividido em outros dois triângulos retângulos (ACH e BAH), nos quais os dois catetos serão:
- as projeções dos catetos (6 cm e 8 cm) sobre a hipotenusa
 - e a altura (h), que é a medida que precisamos obter.
Para obtermos o valor da altura h, vamos ter que estabelecer uma relação entre os lados dos triângulos ACH e BAH, pois eles é que tem em comum a altura h.
Vamos então calcular o valor da projeção do cateto b (8 cm) sobre a hipotenusa (a). Vamos chamar a esta projeção de m. Para isto, vamos usar uma propriedade que relaciona o cateto, a hipotenusa e a projeção deste cateto sobre a hipotenusa. A propriedade diz que o quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção deste cateto sobre a hipotenusa:
b² = a × m
Vamos, então, ter que calcular antes o valor da hipotenusa (a), o que é simples e direto, pois conhecemos os dois catetos (b e c, 6 cm e 8 cm) e o seu valor pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
a² = 8² + 6²
a² = 100
a = 10

Então, se b² = a × m, temos
8² = 10 × m, e
m = 64 ÷ 10
m = 6,4

Como os triângulos ACH e BAH são semelhantes (AAA - todos os seus ângulos são iguais), os seus lados são proporcionais, e podemos escrever:
b/m = c/h (hipotenusa está para o cateto maior, assim como a hipotenusa está para o cateto maior). Multiplicando os meios e os extremos, obtemos:
b × h = c × m, e
h = c × m ÷ b

h = 6 × 6,4 ÷ 8 e, finalmente,

h = 4,8 cm, raio da circunferência inscrita no losango de diagonais iguais a 12 cm e 16 cm.