Question

um losango tem 40 cm de perímetro a diagonal menor mede 12 centímetros calcule a medida da diagonal maior

Answer 1

O Losango possui os quatro lados iguais. Tomamos o lado do Losango igual a L, logo:

L + L + L + L = 40
L = 10

A diagonal menor é perpendicular à diagonal maior, e, no Losango, sabemos que possui quatro triângulos iguais e retângulos.

Logo, teremos um triângulo com hipotenusa 10, cateto 12/2 = 6 e o outro X

Lembrando que X é igual a diagonal maior dividido por 2.

Logo:

$100 = 36 + {x}^{2} \\ 64 = {x}^{2} \\ x = \frac{ + }{} 8$

Como é o valor de uma reta, não pode ser negativo. Logo, a METADE da diagonal maior vale 8.

Contudo, a diagonal vale 8x2 = 16.

Answer 2

Boa tarde, Breno! Segue a resposta com algumas explicações.

-Interpretação do problema:

a)perímetro do losango (Pl): 40 cm;

b)diagonal menor (d) do losango: 12 cm;

c)diagonal maior (D) do losango: ?

-Determinação da medida do lado do losango, por meio da fórmula do seu perímetro:

O perímetro (P) é a soma dos lados de um polígono. Lembrando-se disso e também de que o losango é um quadrilátero (figura de 4 lados) que possui todos os lados de mesma medida (congruentes), tem-se que:

P = l + l + l + l =>

P = 4l =>

40 = 4l => l = 40/4 => l = 10 cm

-Sabendo-se que a medida do lado do losango vale 10 cm, algumas observações a partir da área do losango (Al) são necessárias:

Al = D . d / 2  (Note, entretanto, que não se têm Al e D, portanto, deve-se lembrar de que um losango pode ser dividido em 4 triângulos retângulos, cuja área de cada um deles será a de um triângulo qualquer.)

Al = D . d / 2  = 4 . b . h / 2 (Note, agora, que a base (b) de cada um dos triângulos será a metade do valor da diagonal menor (d) e que a altura (h) de cada um corresponderá à metade da medida da diagonal maior (D).)

Al = 4 . d/2 . D/ 2

OBSERVAÇÃO: Veja, no anexo, a esquematização do problema.

-A partir das constatações acima, pode-se determinar a medida da diagonal maior aplicando o teorema de Pitágoras a um dos triângulos que compõem o losango:

a² = b² + c²  (A hipotenusa de cada triângulo será a medida de um dos lados do losango, que corresponde a 10 cm. Um dos catetos corresponderá à metade da diagonal menor e o outro cateto corresponderá à metade da diagonal maior (D).)

l² = (d/2)² + (D/2)² =>

10² = (12/2)² + (D/2)² =>

100 = 6² + (D/2)² => 100 = 36 + (D/2)² =>

100 - 36 = (D/2)² => 64 = (D/2)² =>

(D/2)² = 64 =>

(D/2) = √64 => (D/2) = 8 => D = 8 . 2 => D = 16 cm

Resposta: A medida da diagonal maior é 16 cm.

Demonstração de que a resposta está correta

-Substituindo D = 16 cm na expressão do teorema de Pitágoras aplicado a um dos triângulos que compõem o losango:

l² = (d/2)² + (D/2)² => 10² = (12/2)² + (16/2)² =>

100 = 6² + 8² => 100 = 36 + 64 => 100 = 100

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!