Question

Um livro de receitas é composto de igual número de fichas de entrada, prato principal
e sobremesa. Nesse livro é possível a composição de 32.768 menus, compostos de
uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. A quantidade de fichas de prato
principal é de?

Resposta: 32

Gostaria de entender a resolução

Answer 1

Segundo o enunciado, as quantidades de fichas de entrada, prato principal e sobremesa são as mesmas, portanto podemos escrever que:
- N° fichas: n.
- N° pratos: n.
- N° sobremesas: n.

Para cada menu iremos escolher uma ficha de entrada, um prato principal e uma sobremesa. Como a ordem não importa, iremos utilizar combinação, tomando um a um os n termos nas três modalidades, isto que resultará em 32768 menus, como o enunciado informa.

Equacionando:
$C_{n, 1} \cdot C_{n, 1} \cdot C_{n, 1}= 32768$

Obs.: multiplica-se as combinações "devido ao conectivo e".

Resolvendo a equação acima:
$C_{n, 1} \cdot C_{n, 1} \cdot C_{n, 1}= 32768 \\ \\ \frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} = 32768 \\ \\ \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = 32768 \\ \\ n \cdot n \cdot n = 32768 \\ \\ n^3= 32768 \\ \\ n= \sqrt[3]{32768} \\ \\ \boxed{n= 32}$

Answer 2

Número de fichas - N
Número de prato de entrada - P
Número de sobremesas - S

Temos pelo enunciado que N = P = S
Logo como o menu é composto por uma ficha de entrada, um prato principal e uma sobremesa teremos:

Número de fichas principais x Número de pratos principais x Número de sobremesas = 32768
N x P x S = 32768
N x N x N = 32768
N³ = 32768
N = ∛32768
N = ∛2^15                     2^15   (2 elevado a 15)
N = ∛(2^5)^3              (2^5)^3  (2 elevado a 5) elevado a 3 
N = 2^5                          2^5   (2 elevado a 5)
N = 32