Question

um líquido volátil diminui seu volume na ordem de 20% por hora. O seu volume se reduzira à metade durante um tempo t. considerando essas condições determine aproximadamente o tempo t. (dado log2 = 0,3 ).

Answer 1

Seja $V_{0}$ o volume inicial do líquido no instante $t=0$, onde $t$ é dado em horas. Então a função $V(t)$ nos fornece o volume restante de líquido quando se passaram $t$ horas.

Sendo $20\%=0,2$, temos que 

$V(1)=V_{0}-0,2V_{0}=0,8\cdot V_{0}\\ \\ V(2)=V(1)-0,2V(1)=0,8V(1)=0,8 \cdot 0,8 \cdot V_{0}=0,8^{2} \cdot V_{0}\\ \\ V(3)=0,8\cdotV(2)=0,8 \cdot 0,8^{2}\cdot V_{0}=0,8^{3} \cdot V_{0}$

Seguindo esse padrão, encontramos a expressão para o volume restante apos $t$ horas

$\boxed{V(t)=0,8^{t}\cdot V_{0}}$

Queremos encontrar o instante $t$, em que o volume nesse instante é a metade do volume inicial, ou seja

$V(t)=\frac{1}{2}V_{0}$

Então temos

$\overbrace{0,8^{t}\cdot V_{0}}^{V(t)}=\frac{1}{2} \cdot V_{0}\\ \\ 0,8^{t}=\frac{1}{2}\\ \left( 10^{\log(0,8)}\right)^t=\frac{1}{2}\\ \\ \left(10^{\log(0,8)\cdot t} \right )=\frac{1}{2}\\ \\ \log(0,8)\cdot t=\log\left(\frac{1}{2}\right)\\ \\ \log(0,8)\cdot t=-\log(2)\\ \\ t = -\frac{\log(2)}{\log(0,8)}\\ \\ \boxed{t \approx 3,1 \text{ h} = 3 \text{ h }6 \text{ min}}$