Question

Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3cm/s e um segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2 cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm de comprimento, o segundo lado tem 30 cm de comprimento e o ângulo é pi/6?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja um triângulo em que dois de seus lados medem $20~\mathsf{cm}$ e $30~\mathsf{cm}$, cujo ângulo formado entre eles mede $\dfrac{\pi}{6}~\mathsf{rad}$.

Devemos determinar a taxa de variação deste ângulo, sabendo que a medida do primeiro lado está aumentando em $3~\mathsf{cm/s}$ e o segundo lado está decrescendo a uma taxa de $2~\mathsf{cm/s}$ e sua área permanece constante.

Lembre-se da fórmula que relaciona a área de um triângulo com a medida de dois de seus lados e o seno do ângulo formado entre eles:

$A=\dfrac{a\cdot b\cdot \sin(\^c)}{2}$, em que $A$ é a área deste triângulo, $a$ e $b$ são as medidas dos lados e $\^c$ é o ângulo formado entre os lados.

Diferenciamos ambos os lados da equação:

$\dfrac{d}{dt}(A)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{a\cdot b\cdot \sin(\^c)}{2}\right)$

Lembre-se que:

• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma função e uma constante é dada por: $\dfrac{d}{dt}(a\cdot f(x))=a\cdot \dfrac{df}{dt}$.
• A derivada de um produto de dois ou mais fatores é calculada pela regra do produto: $\dfrac{d}{dt}(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x))=\dfrac{df}{dt}\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot \dfrac{dg}{dt}\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot \dfrac{dh}{dt}$.
• A derivada implícita de uma função é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dt}(a^n)=n\cdot a^{n-1}\cdot\dfrac{da}{dt}$, em que $a=a(t)$.
• A derivada da função seno é a função cosseno.

Aplique a regra da constante

$0=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(a\cdot b\cdot \sin(\^c)})$

Aplique a regra do produto e calcule as derivadas implícitas.

$0=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{da}{dt}\cdot b\cdot \sin(\^c)+a\cdot\dfrac{db}{dt}\cdot\sin(\^c)+a\cdot b\cdot \dfrac{d \^c}{dt}\cdot \cos(\^c)\right)$

Então, substitua as medidas dos lados e as taxas de variações destas medidas: lembre-se que consideramos taxas de aumento como positivas e taxas de decrescimento como negativas.

$0=\dfrac{1}{2}\cdot\left(3\cdot 30\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+20\cdot(-2)\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+20\cdot 30\cdot \dfrac{d \^c}{dt}\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, multiplique os valores

$0=\dfrac{1}{2}\cdot\left(3\cdot 30\cdot \dfrac{1}{2}+20\cdot(-2)\cdot\dfrac{1}{2}+20\cdot 30\cdot \dfrac{d \^c}{dt}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\\ 45-20+300\sqrt{3}\cdot\dfrac{d\^c}{dt}=0$

Some os valores

$25+300\sqrt{3}\cdot\dfrac{d\^c}{dt}=0$

Subtraia $25$ em ambos os lados da equação

$300\sqrt{3}\cdot\dfrac{d\^c}{dt}=-25$

Divida ambos os lados da equação por $300\sqrt{3}$

$\dfrac{d\^c}{dt}=\dfrac{-25}{300\sqrt{3}}$

Simplifique a fração por um fator $25$

$\dfrac{d\^c}{dt}=-\dfrac{1}{12\sqrt{3}}$

Utilizando uma calculadora, calculamos uma aproximação para a taxa de variação deste ângulo:

$\boxed{\bold{\dfrac{d\^c}{dt}\approx-0.048~rad/s}}$