Question

Um jovem encontra­se a certa distância de uma rocha que deseja escalar. Para estimar a altura dela, observa seu topo a um ângulo de 30° com relação ao plano do solo. Movimenta­se em direção à rocha, aproximando­se 90 m mais. Neste ponto, observa seu cume novamente, dessa vez, a um ângulo de 60°.
A altura da rocha é

Answer 1

Primeiramente faça o desenho e analise atentamente.
Vc deve usar os pontos notáveis dos triângulos e semelhança de triângulos e congruência.
Veja no desejo que forma dois triângulos, Quando ele esta observando em um ângulo de 30° forma um triângulo isósceles "encostado" em um triângulo retângulo , logo seu lado que também será a hipotenusa do outro triângulo também medirá 90m (devido as propriedade basicas do triangulo isoceles). Agora vc poderá usar o seguinte raciocínio.

Seno de 60° = co/h  >>  √3/2 = h/90  >> h = 90√3/2
h = 45√3

Answer 2

Podemos representar a situação do enunciado como na figura em anexo.

A jovem encontrava-se no ponto $A$ e aproximou-se $90~\text{m}$ da rocha, percorrendo o segmento $AD=90$.

O ponto $B$ representa a base da rocha e o ponto $C$ o topo da mesma.

Sejam $BD=x$ e $BC=h$. No triângulo $BCD$, temos:

$\text{tg}~60^{\circ}=\dfrac{BC}{BD}~~\Rightarrow~~\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}~~\Rightarrow~~\boxed{x\sqrt{3}=h}$

Por outro lado, no triângulo $ABC$, temos:

$\text{tg}~30^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}~~\Rightarrow~~\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{90+x}$

$3h=\sqrt{3}\cdot(90+x)~~\Rightarrow~~3h=90\sqrt{3}+x\sqrt{3}$

Lembrando que $x\sqrt{3}=h$, segue que:

$3h=90\sqrt{3}+h~~\Rightarrow~~2h=90\sqrt{3}~~\Rightarrow~~h=\dfrac{90\sqrt{3}}{2}$

Logo, $\boxed{h=45\sqrt{3}~\text{m}}$; 

A altura da rocha é de $45\sqrt{3}$ metros.