Question

Um jogo de dominó padrão é formado por 28 peças, das quais 7 peças possuem números iguais e 21 possuem números distintos, como mostra a figura abaixo.

Duas peças de um jogo de dominó padrão são sorteadas, sem reposição. Calcule a probabilidade de que as peças sorteadas tenham um número em comum.

Answer 1

Olá tudo bem?

Para responder ao exercício devemos começar primeiramente com todas as combinações de 2 peças possíveis que nós podemos obter com um dominó de 28 peças. 

E nesse caso se pensarmos nas combinações possíveis vamos ter 28 peças e cada uma delas pode combinar com as outras 27

Portanto 28*27 seria o nosso número de combinações possíveis. Porém quando calculamos dessa forma estamos considerando que tirar a peça x e depois a peça y seria diferente de tirar a peça y e depois a peça x mas na verdade para o exercício não importa a ordem em que as peças foram tiradas, então devemos dividir o valor final por 2. 

28*27= 756
756/2 = 378 -> número de combinações de 2 peças possíveis desprezando a ordem do sorteio de cada peça

Nesse caso o número 378 que acabamos de encontrar é o nosso espaço amostral.

No entanto, o que o exercício nos pede é a probabilidade de tirarmos 2 peças com um mesmo número. O que significa que ele quer saber desse espaço amostral (378 combinações) quantas são combinações de peças com pelo menos um número igual, e essas combinações iremos chamar de eventos favoráveis.

E como se trata de um jogo de dominó teremos 2 tipos de eventos favoráveis:

Primeiro tipo -> Uma peça coringa e uma peça normal 
Segundo tipo -> 2 peças normais 

PS: Peças normais são peças que tem dois números diferentes e as peças coringa são as peças com 2 números iguais (11,22,33,44,55,66,00). 

Nesse caso vamos calcular o número de combinações possíveis com peças coringas primeiramente:

Imaginemos que a primeira peça sorteada é a peça (1,1) então nesse caso, para que a segunda peça tenha um número comum ela necessariamente tem que ter o número 1

Então temos essas combinações
(1,1) (1,2)
(1,1) (1,3)
(1,1) (1,4)
(1,1) (1,5)
(1,1) (1,6)
(1,1) (1,0)

Portanto para peça coringa temos 6 possíveis combinações, e como temos 7 peças coringas, para o primeiro caso de eventos favoráveis vamos ter 7*6 combinações, 7*6= 42 combinações favoráveis com peças coringa

Agora para o segundo caso, vamos considerar apenas as peças que são normais, ou seja, que possuem 2 números distintos em cada lado. 

Nesse caos as peças coringas não entram, e como são 7 peças, teremos o número total menos o número de peças coringas.
28-7=21 peças para o segundo tipo de eventos favoráveis 

Agora suponhamos que nós tenhamos sorteado a peça (1,2), vamos ver quais as possíveis combinações que teremos de peças com 1 ou 2, excluindo as peças coringas:

(1,2) (1,3)
(1,2) (1,4)
(1,2) (1,5)
(1,2) (1,6) 
(1,2) (1,0)
(1,2) (2,3)
(1,2) (2,4)
(1,2) (2,5)
(1,2) (2,6)
(1,2) (1,0)
 
Portanto para o segundo tipo de eventos favoráveis temos 10 combinações para cada uma das 21 peças normais. Porém, novamente devemos desconsiderar a ordem em que sorteamos as peças e dividir o valor final por 2, pois se continuarmos fazendo todas as combinações possíveis, as peças que estão na segunda linha estarão na primeira e vamos repetir 2 vezes cada combinação.

Então teremos 10*21= 210
210/2= 105 combinações favoráveis só com peças normais 

Agora que já descobrimos nosso espaço amostral e nosso eventos favoráveis, basta dividir eventos favoráveis por espaço amostral e teremos o valor da probabilidade que estamos buscando:

$\frac{eventos favoraveis}{espaco amostral} = \frac{42+105}{378} = \frac{7}{18}$

Resposta: A probabilidade de que as peças sorteadas tenham um número comum é 7/18, 39% aproximadamente.

Espero ter ajudado!