Question

Um jogador de golf desfere uma tacada , imprimindo à bola uma velocidade inicial com módulo de v₀ = 20 m/s e ângulo de 45° em relação ao eixo-x horizontal , de acordo com a figura abaixo . Desprezando a resistência aerodinâmica do ar e considerando que o módulo da aceleração vale g = 10 m/s² , determine o alcance A da bola de golf.

Answer 1

O vetor velocidade da bola varia em função do tempo:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=v_x(t)\overrightarrow{\mathbf{i}}+v_y(t)\overrightarrow{\mathbf{j}}$


sendo $v_x(t),\,v_y(t)$ as componentes horizontal e vertical do vetor velocidade.

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No instante inicial (momento da tacada)

$t=0:$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}(0)=v_x(0)\overrightarrow{\mathbf{i}}+v_y(0)\overrightarrow{\mathbf{j}}$


O vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}(0)$ forma um ângulo de 45º com o eixo $x$ positivo. Além disso,

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}(0)\|=20\mathrm{~m/s}$


Então, podemos achar as componentes horizontal e vertical do vetor velocidade inicial:

$\bullet\;\;v_x(0)=\|\overrightarrow{\mathbf{v}}(0)\|\cos 45^\circ\\\\\\ v_x(0)=20\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ v_x(0)=10\sqrt{2}~\mathrm{~m/s}\\\\\\\\ \bullet\;\;v_y(0)=\|\overrightarrow{\mathbf{v}}(0)\|\,\mathrm{sen\,}45^\circ\\\\\\ v_y(0)=20\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ v_y(0)=10\sqrt{2}~\mathrm{~m/s}$

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Trata-se de um problema de lançamento oblíquo. O vetor posição da bola depende do instante $t:$

$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=x(t)\overrightarrow{\mathbf{i}}+y(t)\overrightarrow{\mathbf{j}}$


Sendo $x(t),\,y(t)$ as equações horárias das componentes horizontal e vertical da posiçaõ da bola.

Para efeito de simplificação de cálculos, vamos assumir que a posição da bola no instante inicial é a origem (0, 0):

$x(0)=x_0=0\\\\ y(0)=y_0=0$

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Na vertical, a bola descreve um movimento uniformemente variado:

$y(t)=y_0+v_{0y} t-\dfrac{1}{2}\,gt^2\\\\\\ y(t)=0+10\sqrt{2}\,t-\dfrac{1}{2}\cdot 10t^2\\\\\\ y(t)=10\sqrt{2}\,t-5t^2$


Encontrando os instantes em que a bola atinge altura zero:

$y(t)=0\\\\ 10\sqrt{2}\,t-5t^2=0\\\\ 5t\cdot (2\sqrt{2}-t)=0\\\\ \begin{array}{rcl} 5t=0&~\text{ ou }~&2\sqrt{2}-t=0\\\\ t=0&~\text{ ou }~&t=2\sqrt{2}\mathrm{~s} \end{array}$

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Na horizontal, a bola descreve um movimento uniforme (velocidade horizontal constante):

$x(t)=x_0+v_x t\\\\ x(t)=10\sqrt{2}\,t$


O alcance $A$ é a posição horizontal no 2º instante em que a altura é zero:

$t=2\sqrt{2}\,t\mathrm{~s}:\\\\\\ A=x\big(2\sqrt{2}\big)-x_0\\\\ A=10\sqrt{2}\cdot \big(2\sqrt{2}\big)-0\\\\ A=20\cdot \big(\sqrt{2}\big)^{\!2}\\\\ A=20\cdot 2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A=40\mathrm{~m} \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

A= 40m

Explicação:

Existe uma maneira bem simples de calcular o alcance através da seguinte fórmula:

A = vo². sen 2θ / g

A = 20² . sen 2.45° / 10

A = 400 . sen 90° / 10

A = 400 . 1 / 10

A = 40m