Question

Um jogador de basquete, parado sobre uma plataforma deslizante, de sistema referencial (iˆ0, jˆ0) e que se desloca com uma velocidade v = 9, 1m/s ˆi, arremessa uma bola em direção a um aro dependurado verticalmente. O aro está em repouso em relação ao referencial (ˆi, ˆj)(do solo) e a uma altura h = 4,9 m da mão do jogador. A jogada faz com que a bola passe pelo aro se movendo horizontalmente, ou seja, apenas com uma componente de velocidade no sentido do vetor unitário ˆi, no referencial do solo. O jogador arremessa a bola com um módulo de velocidade de 10,8 m/s em relação a si próprio (referencial da plataforma).
a) Qual deve ser o componente vertical da velocidade inicial da bola?
b) Quantos segundos após o lançamento da bola ela passará através do aro da cesta?
c) A que distância horizontal á frente do aro ele deve lançar a bola?
d) Quando a bola deixa a mão do jogador, qual ´e a direção de sua velocidade relativa em relação à plataforma?
E em relação a um observador em repouso na arquibancada?

Answer 1

A velocidade vertical inicial da bola era 9,8 m/s.

a) Devemos transformar as coordenadas da velocidade para o sistema xy com referencial no solo, haste, aro e arquibancada (fixos). Para isso vamos aplicar a relatividade Galileana. Como a plataforma se move apenas no sentido horizontal do eixo x, então no eixo y teremos apenas a componente vertical da bola arremessada, sem influência da plataforma. Logo:

$v_o_y = v_y_{bola}$

Considerando que a bola realiza um lançamento oblíquo podemos inferir que a bola atingirá a altura máxima exatamente no aro. Ou seja:

$v_y^2 = v_o_y^2 - 2gh\\\\0^2 = v_o_y^2 - 2*9,8*4,8\\\\v_o_y^2 = 9,8^2\\v_o_y = 9,8 m/s$

A aceleração da gravidade é a mesma para ambos os sistemas, apontando para baixo.

b) Levando em conta, novamente, apenas as componentes verticais, teremos:

$v_y = v_o_y - gt\\\\0 = 9,8 - 9,8t\\\\t = 9,8/9,8 = 1 s$

c) Aplicando Pitágoras nos vetores da velocidade da bola no instante em que ela é arremessada, teremos:

$v_o^2 = v_o_x^2 + v_o_y^2\\\\10,8^2 = v_o_x^2 + 9,8^2\\\\v_o_x^2 = 116,64 - 96,04 = 20,6\\\\v_o_x = 4,54 m/s$

Agora devemos transformar a velocidade horizontal para o referencial xy adotado anteriormente. Aplicando a relatividade Galileana:

$v_x = v_o_x + v_{plataforma} = 4,54 + 9,1 = 13,64 m/s$

É simples encontrarmos essa distância. Basta aplicarmos o tempo calculado na letra b) no movimento horizontal, levando em conta que a bolara realiza movimento uniforme na horizontal, vamos ter:

$d = 0 + v_xt = 13,64*1 = 13,64m$

d) Em relação à plataforma a bola possui velocidade relativa de 10,8 m/s, conforme descrito no próprio enunciado.

Já em relação ao referencial xy, devemos levar em conta as velocidade vx e vy encontradas anteriormente:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 9,8^2 + 13,64^2 = 282,09\\\\v = 16,8 m/s$

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