Question

Um jogador de basquete arremessa a bola em direção à cesta e converte a mesma obtendo três pontos. Sabe-se que a trajetória da bola é dada pela equação y = –x2 + 14x + 3. Para quais valores de x a bola estava subindo em direção à cesta?

Answer 1

Resposta:

valores de x para os quais a bola está subindo: $7-2\sqrt{13} \leq x \leq 7$

Explicação passo-a-passo:

Embora a função seja definida na reta toda, se y(x) é a altura da bola em relação ao chão, então y tem que ser positivo e portanto o domínio de validade de x estará entre as raízes dessa função. Além disso, para achar o intervalo em que a bola está subindo em direção à cesta, é preciso achar o ponto máximo dessa função. Como não foi dito no enunciado da questão, vou assumir que o bola foi lançada a partir de algum ponto o mais próximo possível da origem do sistema de coordenadas. Pronto, sabendo disso, vamos aos cálculos:

$y(x) = -x^2 + 14x + 3$

Para achar as raízes, temos que usar a fórmula de Bhaskara,

$\Delta = b^2-4ac = (-14)^2 - 4\cdot(-1)\cdot(3) = 196 + 12 = 208$.

As raízes são:

$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14\pm\sqrt{208}}{2\cdot(-1)} = 7\pm2\sqrt{13}$.

Portanto, o valor minimo de x fornece o ponto em que a bola foi lançada, ou seja: $x_{min} = 7-2\sqrt{13}$.

Agora temos que achar o máximo da função. O máximo (ou o mínimo) de qualquer função quadrática é o ponto conhecido por vértice. O vértice de qualquer polinômio de grau 2 é dado pela seguinte fórmula:

                                                     $x_v = -\frac{b}{2a}$ .

Agora basta substituir os valores numéricos:

$x_v = -\frac{14}{2\cdot(-1)} = 7$.

Portanto, os valores de x para os quais a bola está subindo é

$x_{min} \leq x \leq x_v$,  ou seja:

                                              $7-2\sqrt{13} \leq x \leq 7$ .