Question

Um jato d'água sai de uma mangueira de jardim num altura de 80cm, com velocidade de 12,5m/s num ângulo de 30º. Qual é o valor do tempo de voo do jato?

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Aproximadamente 1,4 segundos. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos decompor a velocidade inicial para analisar o movimento no eixo vertical através da fórmula do sorvetão.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Olá, Vandeir ✌. Vamos observar o vetor velocidade sobre uma única gota d'água deste jato:

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                                        $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(2,1){3}}\put(0,0){\circle{2}}\bezier{30}(0,0)(2,0)(4,0)\put(1,0.1){\large \sf 30^{\circ} }\put(1,1){\LARGE \overrightarrow{\sf v_i} }\put(-1,-1){ \underbrace{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad} }\put(1.32,-2){\Huge \Downarrow }\end{picture}$

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   $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(2,1){3}}\put(0,0){\circle{2}}\bezier{30}(0,0)(2,0)(4,0)\put(1,0.1){\large \sf 30^{\circ} }\put(1,1){\LARGE \overrightarrow{\sf v_i} }\put(3,0){\vector(0,1){1.5}}\put(0,0){\vector(1,0){3}}\put(1.3,-0.7){\LARGE \overrightarrow{\sf v_{ix}} }\put(3.3,0.5){\LARGE \overrightarrow{\sf v_{iy}} }\put(5,1){\dashbox{0.1}(7,1.5){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_{ix}} = cos(30^{\circ}) \cdot \overrightarrow{\sf v_i} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12{,}5 }}\put(5,-1){\dashbox{0.1}(7,1.5){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_{iy}} = sen(30^{\circ}) \cdot \overrightarrow{\sf v_i} = \dfrac{1}{2} \cdot 12{,}5 }}\end{picture}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos que a velocidade inicial no sentido vertical é de 6,25 [m/s].

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⠀⠀⠀☔⠀Pelas equações da aceleração média e da velocidade média podemos deduzir uma função horária da posição para movimentos retilíneos uniformemente variados (também chamada de fórmula do sorvetão), encontrando assim um equação da dinâmica que relaciona as posições inicial e final, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo analisado:

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                 $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\&\Large\pink{\underline{\bf~~~~F\acute{o}rmula~do~sorvet\tilde{a}o~~~~}}&\\\\\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~I)~~Rearranjando~a_m~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_f - v_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf v_f = v_i + a_m \cdot t_f\qquad\red{\sf\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~hor\acute{a}ria~da~velocidade)}}}&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~somamos~v_i~em~ambos~os~lados~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_f + v_i = 2 \cdot v_i + a_m \cdot t_f }&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~e~dividimos~ambos~os~lados~por~2~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_m \rightarrow \boxed{\sf \dfrac{v_f + v_i}{2}} = v_i + \dfrac{ a_m \cdot t_f}{2}}\\\\&\green{\sf\clubsuit~~\underline{~II)~~Rearranjando~v_m~}~~\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s_f - s_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf s_f = s_i + v_m \cdot t_f\quad\:\:\:\red{\sf\:\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~horaria~da~posic\tilde{a}o)}}}&\\\\&\green{\sf\blacklozenge~~\underline{~III)~~De~I)~em~II)~temos~}~~\blacklozenge}&\\\\&\orange{\sf s_f = s_i + \left(v_i + \dfrac{a_m \cdot t_f}{2}\right) \cdot t_f}&\\\\\\&\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\\\\end{array}~~}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim, temos para o eixo vertical (assumindo para cima positivo e para baixo negativo):  

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$\Large\blue{\text{ \sf 0 = 0{,}8 + 6{,}25 \cdot t + \dfrac{(-9{,}8) \cdot t^2}{2} }}$

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$\Large\blue{\sf 0 = 0{,}8 + 6{,}25 \cdot t - 4{,}9 \cdot t^2}$

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$\Large\blue{\sf 4{,}9 \cdot t^2 - 6{,}25 \cdot t - 0{,}8 = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Pela fórmula de Bháskara temos:

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$\blue{\sf \Delta = \green{(-6,25)}^2 - 4 \cdot \pink{4,9} \cdot \gray{(-0,8)} \approx 54,74}$  

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$\blue{\begin{cases}\text{ \sf t_{1} \approx \dfrac{-(-6,25) + \sqrt{54,74}}{2 \cdot 4,9} \approx \dfrac{6,25 + 7,4}{9,8} \approx 1,4 }\\\\\\\text{ \sf t_{2} \approx \dfrac{-(-6,25) - \sqrt{54,74}}{2 \cdot 4,9} \approx \dfrac{6,25 - 7,4}{9,8} \approx -0,18 }\end{cases}}$

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⠀⠀⠀⭐ Como buscamos um valor positivo de tempo então temos:

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                                      $\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{t}~\pink{\approx}~\blue{ 1,4~[s] }~~~}}$ ✅

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⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre a fórmula de Bháskara:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/48142418 ✈  

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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