Question

Um investidor efetuou sessenta depósitos mensais e sucessivos de R$ 600,00 em um fundo de investimento que remunera as aplicações a uma taxa de 30% ao ano, capitalizada mensalmente, iniciando os depósitos em 30 dias. Do montante poupado ele efetuou quarenta e oito saques mensais, iguais e sucessivos, iniciando os saques um mês após o último depósito. No último saque ele zerou o saldo de sua conta. Qual seria o valor dos saques que serão efetuados mensalmente aproximadamente?

Answer 1

O investidor realizou 48 saques de R$194,44 aproximadamente.

A questão trata de Montante de séries periódicas.

Para encontrar o valor dos saques que serão efetuados, primeiro iremos descobrir o montante acumulado (S) em razão dos depósitos mensais (R).

Utilizando a fórmula:

$S=R\times[\frac{(1+i)^{n} - 1 }{i}]$

• S = montante acumulado.
• R = depósitos mensais.
• i = taxa de juros (anual)
• n = período decorrido (tempo)

Como sabemos, os depósitos mensais são de R$ 600,00. Estes ocorreram em um período de 60 meses.

• É importante que a unidade do tempo seja compatível com a unidade da taxa de juros. Ambos em anos ou ambos em meses.

Tendo o ano 12 meses, 60 meses equivale a 5 anos (60 ÷ 12)

• n = 5 anos

• i = 30% ao ano = 0,3

Utilizando a fórmula

$S=600 \times[\frac{(1+0,3)^{5} - 1 }{0,3}]\\S=600 \times[\frac{(1,3)^{5} - 1 }{0,3}]\\S=600 \times[\frac{3,7 - 1 }{0,3}]\\S=600 \times[\frac{2,7}{0,3}]\\S = 600 \times 9\\\\S= 5400$

O valor acumulado é de R$5400,00.

Considerando os 48 saques

• A partir desse momento o investidor passa a sacar uma quantia igual por 48 meses.

• Os juros de 3% ao ano, ou (2,5% ao mês), continuam incidindo sobre o valor restante no investimento até que ele zere o saldo.

• Para descobrir o valor dos saques vamos fazer um calculo semelhante ao de uma amortização, a partir da fórmula:

$Pmt = \frac{Pv}{\frac{(1+i)^{n} -1}{(1+i)^{n}\times i } }$

Pv = 5400

i = 2,5% a.m = 0,025

n = 48 meses

Efetuando o cálculo

$Pmt = \frac{5400}{\frac{(1+0,025)^{48} -1}{(1+0,025)^{48}\times 0,025 } } \\Pmt = \frac{5400}{\frac{(1,025)^{48} -1}{(1,025)^{48}\times 0,025 } } \\\\Pmt = \frac{5400}{\frac{3,271489 -1}{3,271489\times 0,025 } }\\Pmt = \frac{5400}{\frac{2,271489}{0,081787 } } \\\\Pmt = \frac{5400}{27,773156} \\Pmt = 194,443442$

Sendo assim, o investidor realizou 48 saques de R$194,44 aproximadamente.

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