Question

Um investidor comprou uma certa quantidade de ações de determinada empresa, com um valor total de R$ 1000,00. Como percebeu que o valor dessas ações estava em queda, decidiu vendê-las todas, exceto vinte, mesmo tendo um prejuízo de R$ 4,00 em cada uma. Com a quantia arrecadada, conseguiu comprar 48 ações de uma outra empresa, cujo valor unitário era igual ao da compra inicial. Sabendo que este valor unitário é representado por um número inteiro, a quantidade de ações adquiridas pelo investidor na primeira compra citada é:


Não consigo entender nem por qual caminho seguir!

Tentei montar o seguinte:

(x-20)(y-4)=48y

x.y=1000


onde x são as ações e y o valor

mas parece que disso não chego a nada!

Me ajude por favor!!!!

Muito obrigada!

Answer 1

Você equacionou o problema corretamente. Depois, é só resolver o sistema formado pelas duas equações. Observe:

Sejam

     •  x = quandidade inicial de ações compradas;

     •  y = preço de cada ação.


Como o valor total de ações adquiridas inicialmente foi de R$ 1000,00, temos que

     $\mathsf{xy=1000\qquad\quad(i)}$


Os preços das ações começaram a cair. Então, ele decidiu vender (x − 20) ações, ao preço unitário de (y − 4). O valor obtido por esta venda foi

     $\mathsf{(x-20)\cdot (y-4)}$


Esse valor foi suficiente para comprar 48 ações pelo mesmo preço inicial y. Logo,

     $\mathsf{(x-20)\cdot (y-4)=48y}$


Faça a distributiva no lado esquerdo:

     $\mathsf{xy-4x-20y+80=48y\qquad\quad (mas~xy=1000)}\\\\ \mathsf{1000-4x-20y+80=48y}\\\\ \mathsf{1000+80=48y+4x+20y}\\\\ \mathsf{1080=4x+68y}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 4\cdot (x+17y)=\diagup\!\!\!\! 4\cdot 270}\\\\ \mathsf{x+17y=270\qquad\quad(ii)}$


Agora, resolva o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

     $\left\{\begin{array}{lc} \mathsf{xy=1000}&\qquad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{x+17y=270}&\qquad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Isole y na equação (i) e substitua na equação (ii):

     $\mathsf{xy=1000}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1000}{x}}$


     $\mathsf{x+17y=270}\\\\ \mathsf{x+17\cdot \dfrac{1000}{x}=270}\\\\\\ \mathsf{x+\dfrac{17000}{x}=270}\\\\\\ \mathsf{x^2+17000=270x}\\\\ \mathsf{x^2-270x+17000=0}$


Poderíamos usar a fórmula resolutiva de Báscara para resolver esta equação. Mas como sabemos que o valor de x é inteiro, podemos tentar fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente − 270x como − 100x − 170x:

     $\mathsf{x^2-100x-170x+17000=0}\\\\ \mathsf{x(x-100)-170(x-100)=0}\\\\ \mathsf{(x-100)(x-170)=0}\\\\ \begin{array}{rcl}\mathsf{x-100=0}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{x-170=0}\\\\ \mathsf{x=100}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{x=170} \end{array}$


     •  Para x = 100, o preço de cada ação seria

        $\mathsf{y=\dfrac{1000}{x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1000}{100}}$

        $\mathsf{y=R\ ~10,\!00}$


     •  Para x = 170, o preço de cada ação seria

        $\mathsf{y=\dfrac{1000}{x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1000}{170}}$

        $\mathsf{y=R\ ~5,\!88}$


Logo, há duas possibilidades para esse problema. Inicialmente foram compradas

     •  100 ações a R$ 10,00 por ação;

     ou

     •  170 ações a R$ 5,88 por ação.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)