Question

Um investidor aplica um capital C=C(t) em um banco, que cresce a uma taxa dC/dt proporcional a c, ou seja, dC/dt=kC. Sabe-se que o valor do capital no instante t=0 era de R$ 20.000,00 reais e 1 ano após, era de R$ 23.000,00. Calcule o valor do capital em 10 anos.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{C(10)\approx R\ 80.911,16}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Temos a seguinte equação diferencial e problema do valor inicial:

$\dfrac{dC}{dt}=k\cdot C$, tal que $k$ é uma constante de proporcionalidade e $C$ está em função do tempo, que refere-se ao capital aplicado em um banco pelo investidor.

De acordo com o enunciado, sabemos que $C(0)=R\ ~20.000,00$ e $C(1)=R\ ~23.000,00$.

Então, para resolvê-la, faremos:

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dt$ e divida pelo capital $C$, logo

$\dfrac{dC}{C}=k\,dt$

Integramos ambos os lados

$\displaystyle{\int\dfrac{dC}{C}=\int k\,dt$

Sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C_1$ e  $\displaystyle{\int a\,dx=a\cdot \int \,dx=a\cdot x + C_2$, tal que $C_1$ e $C_2$ são constantes de integração, teremos

$\ln|C|+C_1=k\cdot t+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação

$\ln|C|=k\cdot t+C_2-C_1$

Então, consideremos $C_2-C_1=C_3$, assim teremos

$\ln|C|=k\cdot t+C_3$

Aplique a propriedade de logaritmos: $\log_a(b)=c~\Rightarrow b=a^c$, lembrando que $\ln(x)=\log_ex$, em que $e$ é o número de Euler.

Assim, teremos

$C=e^{k\cdot t+C_3}$

Aplique a propriedade de potências de mesma base: $a^{m+n}\Leftrightarrow a^m\cdot a^n$

$C=e^{k\cdot t}\cdot e^{C_3}$

Considere $e^{C_3}=C_4$, logo

$C=C_4\cdot e^{k\cdot t}$

Então, utilizamos os valores que nos foram cedidos. No instante $t=0$, teremos

$20000=C_4\cdot e^{k\cdot 0}$

Multiplique os valores e lembre-se que $e^0=1$, logo

$C_4=20000$

No instante $t=1$, teremos:

$23000=20000\cdot e^{k\cdot 1}$

Multiplique os valores

$23000=20000\cdot e^{k}$

Divida ambos os lados da equação por $20000$

$e^k=\dfrac{23000}{20000}$

Simplifique a fração

$e^k=1.15$

Retiramos o logaritmo natural em ambos os lados, lembrando que $\log_aa^m\Leftrightarrow m$, logo

$\ln(e^k)=\ln(1.15)\\\\\\ k=\ln(1.15)$

Substituindo estes dados, a fórmula que nos dá o capital em um dado instante $t$ será:

$C=20000\cdot e^{\ln(1.15)\cdot t}$

Aplique a propriedade do logaritmo novamente, assim $\ln(1.15)\cdot t=\ln(1.15^t)$, então

$C=20000\cdot e^{\ln(1.15^t)}$

Sabendo que $m\Leftrightarrow a^{\log_a m}$, enfim teremos

$C=20000\cdot 1.15^t$

Como buscamos o valor do capital em 10 anos, substituímos $t=10$, logo

$C=20000\cdot 1.15^{10}$

Calcule a potência, utilizando uma aproximação $1.15^{10}\approx4.045558$, assim

$C(10)\approx 20000\cdot 4.045558$

Multiplique os valores

$C(10)\approx R\ 80.911,16$

Este será o valor aproximado do capital em 10 anos.