Question

Um investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m.
A - se o investidor fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito?
B - caso deseje um montante 35% superior ao conseguido na opção anterior, no mesmo prazo e com a mesma taxa, qual deverá ser o valor de cada aplicação?

Answer 1

Podemos utilizar um diagrama de fluxo de caixa (ver anexo). Para determinar o montante, vamos, primeiro, identificar o período que cada aplicação de R$2000 ficou investida:

Período da Aplicação 1:   6 meses

Período da Aplicação 2:   5 meses

Período da Aplicação 3:   4 meses

Período da Aplicação 4:   3 meses

Período da Aplicação 5:   2 meses

Período da Aplicação 6:   1 meses

Período da Aplicação 7:   0 meses

a)

O montante será a soma do valor futuro de cada aplicação, sendo assim:

$VF~=~VP~.~(1+Taxa)^{periodo}$

$Montante~=~VF_1+VF_2+VF_3+VF_4+VF_5+VF_6+VF_7\\\\\\Montante~=~2000.(1+\frac{2}{100})^{6}+2000.(1+\frac{2}{100})^{5}+2000.(1+\frac{2}{100})^{4}+~2000.(1+\frac{2}{100})^{3}+\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2000.(1+\frac{2}{100})^{2}+2000.(1+\frac{2}{100})^{1}+2000.(1+\frac{2}{100})^{0}$

$Montante~=~2000.(1,02)^{6}+2000.(1,02)^{5}+2000.(1,02)^{4}+~2000.(1,02)^{3}+\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2000.(1,02)^{2}+2000.(1,02)^{1}+2000.(1,02)^{0}\\\\\\Montante~=~2000~.~\left((1,02)^{6}+(1,02)^{5}+(1,02)^{4}+(1,02)^{3}+(1,02)^{2}+(1,02)^{1}+(1,02)^{0}\right)\\\\\\Montante~=~2000~.~(7,4343)\\\\\\\boxed{Montante~=~R\ \,14.868,60}$

b)

Um montante 35% superior será igual a:

$Montante~35\%~maior~=~1,35~.~Montante\\\\\\Montante~35\%~maior~=~1,35~.~14868,60\\\\\\\boxed{Montante~35\%~maior~=~R\ \,20.072,61}$

Para descobrirmos quanto deverá ser cada aplicação para atingir esta meta, basta reutilizarmos a equação da questão anterior, porem agora trocando o montante pelo montante esperado (35% maior), acompanhe:

$Montante_{_{35\%}}~=~VP.(1+\frac{2}{100})^{6}+VP.(1+\frac{2}{100})^{5}+VP.(1+\frac{2}{100})^{4}+~VP.(1+\frac{2}{100})^{3}+\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~VP.(1+\frac{2}{100})^{2}+VP.(1+\frac{2}{100})^{1}+VP.(1+\frac{2}{100})^{0}\\\\\\20072,61~=~VP~.~\left((1,02)^{6}+(1,02)^{5}+(1,02)^{4}+(1,02)^{3}+(1,02)^{2}+(1,02)^{1}+(1,02)^{0}\right)\\\\\\20072,61~=~VP~.~(7,4343)\\\\\\VP~=~\frac{20072,61}{7,4343}\\\\\\\boxed{VP~=~R\ \,2.700,00}$