um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. para cada vértice é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis númerosda face é:
Soluções para a tarefa
A soma dos números escritos nos lados deste cubo será 35 e podemos encontrar por meio de manipulações algébricas.
O problema diz que para cada vértice, teremos um produto das faces adjascentes ao vértice.
Observe na figura que temos a planificação de um cubo.
Na face b, eu marquei um pontinho que representa um vértice.
o produto das faces vizinhas deste vértice é bfc.
Um cubo tem 8 vértices. portanto teremos a soma de 8 produtos.
Uma vez compreendido como se escreve o produto, vamos escolher duas faces, a "a" e a "f", como faces de referencia e vamos escrever os produtos
Teremos os seguintes produtos para a face "a"
abc+acd+ade+aeb
E teremos os seguintes produtos para a face "f"
fbc+fcd+fde+feb
Somando tudo teremos
abc+acd+ade+aeb + fbc+fcd+fde+feb
De agora em diante, vamos aplicar operações algébricas para simplificar.
Primeiro, vamos colocar em evidência a letra a e a letra f:
a(bc+cd+de+eb)+f(bc+cd+de+eb)
Em seguida vamos colocar em evidência a letra c e a letra e
a(c(b+d)+e(b+d)) +f(c(b+d)+e(b+d))
Depois disso colocar em evidência (b+d)
a(c+e)(b+d) +f(c+e)(b+d)
Por fim colocamos (c+e)(b+d) em evidência
(a+f)(c+e)(b+d)
Esta expressão é igual à primeira expressão obtida.
Ou seja
(a+f)(c+e)(b+d) = abc+acd+ade+aeb + fbc+fcd+fde+feb
Segundo o problema, esta soma de produtos é igual a 1105.
Ou seja
1105 = abc+acd+ade+aeb + fbc+fcd+fde+feb
e escrevendo a expressão equivalente, teremos
1105 = (a+f)(c+e)(b+d)
isto significa que 1105 é o produto de 3 números naturais (lembre que (a+f) é um número!)
se dividir 1105 por 5, obtemos =221
Se dividir 221 por 13, vamos obter 17
Então temos que
(a+f)=5
(c+e)=13
(b+d)=17
(lembre-se que a ordem não importa! Poderíamos ter (a+f)=13 e (c+e)=5 sem nenhum problema)
portanto a soma das faces será
a+f+c+e+b+d = 5+13+17 = 35
