Question

Um instituto de pesquisa verifica que a densidade de pessoas influenciadas positivamente por uma campanha eleitoral em uma região é dada por $p(x,y)= \frac{y e^{-y} }{x+1}$ milhares de pessoas por quilômetro quadrado. Considerando esta estimativa, para uma região delimitada por $0 \leq x \leq 3 e 2 \leq y \leq 5$ quilômetros, qual é, aproximadamente, a quantidade de moradores, que são influenciados positivamente pela pesquisa?a) 253 moradoresb) 350 moradoresc) 507 moradoresd) 952 moradorese) 1010 moradores

Answer 1

$\int\limits^{5}_{2} \int\limits^{3}_{0}\left( {\frac{y*e^{-y}}{x+1} } \right) \;dxdy\\\\ = \int\limits^{5}_{2}(y*e^{-y})dy* \int\limits^{3}_{0} \left( \frac{1}{x+1} \right) dx\\\\ \int\limits^{5}_{2}(y*e^{-y})dy * ln(x+1)|^3_0\\\\ = \int\limits^{5}_{2}(y*e^{-y})dy * \left(ln(3+1)-ln(0+1)\right)\\\\ = \int\limits^{5}_{2}(y*e^{-y})dy * (ln(4)-ln(1))\\\\ \boxed{\boxed{ln(4)\int\limits^{5}_{2}(y*e^{-y})dy }}$

resolvendo a integral por partes
u = y
du = dy
dV = e^(-y)
V = -e^(-y)

$= ln(4)*\left(-e^{-y}*y - \int -e^{-y}*dy )\right | _2^5\\\\ = ln(4)*\left(-y*e^{-y} - e^{-y})\right|^5_2\\\\ =ln(4)*\left([-5*e^{-5}-e^{-5}]-[([-2*e^{-2}-e^{-2}]\right)\\\\ = 1.386*(-0,040-(--0.406))\\\\ = 1,386*0,006 =0,507 ( \frac{\text{milhares pessoa}}{m^2}*m^2) \\\\ = 0,507 \text{milhares de pessoas}\\\\ = 0,507 * 1000 = 507 pessoas$