Question

Um indivíduo alcoolizado tem um tempo de reação de 0,5s. Um motorista alcoolizado vê um farol à sua frente, enquanto dirige a 10 m/s e, ao perceber que está fechado, aciona o freio, imprimindo uma aceleração de –2,5 m/s² . Considerando o tempo de reação entre a percepção e o acionamento do freio, para que ele pare exatamente no farol, deve iniciar a redução de velocidade a uma distância do farol, em metros, igual a:

20m
22m
25m
100m
21m

Answer 1

A redução de velocidade deve iniciar a uma distância do farol de 24,6875 metros, ou, arredondando, 25 metros.

Teoria

A equação de Torricelli é uma equação do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), no qual relacionamos unidades de velocidade, aceleração e distância sem precisar do tempo. Essa relação foi descoberta pelo Evangelista Torricelli e, em homenagem à ele, ela carrega seu nome.

A função horária da posição do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) é a relação usada para determinar a posição de um móvel em um determinado instante t que descreve linearidade, pois, apesar de possuir aceleração, essa aceleração é constante e, portanto, pode ser calculada. Nesse caso, a velocidade não é constante.

Cálculo

Em termos matemáticos, a equação de Torricelli diz que o quadrado da velocidade final é equivalente ao quadrado da velocidade inicial somado ao produto do dobro da aceleração pela distância percorrida, tal como a equação I abaixo:  

$\boxed {\sf v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S } \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o I)}$  

Onde:      

v = velocidade final (em m/s);        

v₀ = velocidade inicial (em m/s);        

a = aceleração (em m/s²);        

ΔS = distância percorrida (em m);

Além disso, a posição é proporcional à posição inicial somada ao produto da velocidade inicial pelo intervalo de tempo somada à metade do produto da aceleração pelo quadrado do intervalo de tempo, tal como a equação II abaixo:

$\boxed {\sf S = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o II)}$

Onde:

S = posição no instante t (em m);    

S₀ = posição inicial (em m);      

v₀ = velocidade inicial (em m/s);    

t = intervalo de tempo (em s);  

a = aceleração (em m/s²).

Aplicação

Descobrindo a distância que o condutor deveria iniciar a redução de velocidade, caso o mesmo não estivesse embriagado

Sabe-se, segundo o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf v = \textsf{0 m/s} \\\sf v_0 = \textsf{10 m/s} \\\sf a = -\textsf{2,5 m/s}^2 \\\sf \Delta S = \textsf{? m} \\\end{cases}$

Substituindo na equação I:

$\sf 0^2 = 10^2 + 2 \cdot (-\textsf{2,5}\cdot \Delta S)$

Simplificando:

$\sf 0 = 100 -\textsf{5}\cdot \Delta S$

Isolando ΔS:

$\sf \Delta S = \dfrac{100}{5}$

Dividindo:

$\boxed {\sf \Delta S = \textsf{20 m}}$

Calculando a distância percorrida entre o intervalo de reação do motorista e o início da frenagem do veículo

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf S = \textsf{? m} \\ \sf S_0 = \textsf{0 m} \\\sf v_0 = \textsf{10 m/s} \\ \sf t = \textsf{0,5 s} \\ \sf a = -\textsf{2,5 m/s}^2 \\\end{cases}$

Substituindo na equação II:

$\sf S = 0 + 10 \cdot \textsf{0,5} + \dfrac{-\textsf{2,5} \cdot \textsf{0,5}^2}{2}$

Simplificando e multiplicando:

$\sf S = \textsf{5} + \dfrac{-\textsf{0,625}}{2}$

Dividindo:

$\sf S = \textsf{5} - \textsf{0,3125}$

Subtraindo:

$\boxed {\sf S = \textsf{4,6875 m}}$

Somando o tempo de reação ao tempo de frenagem

$\sf S_{total} = 20 + \textsf{4,6875}$

Somando:

$\boxed {\sf S_{total} = \textsf{24,6875 m}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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