Um homem entra num pomar , depois de passar por '' n '' portas . e colhe um certo número de maçãs . Quando deixa o pomar ele dá ao primeiro guarda metade das maçãs que tinha , mais uma . Ao segundo guarda ele dá metade das maças restantes , mas uma . Depois de fazer o mesmo com cinco guardas que ainda faltavam , ele se encontra com uma maça . Encontre a fórmula fechada que forneça quantas maçãs ele terá apos passar por uma determinada porta .
Lukyo:
"Determinada porta" remete à ordem (posição) de uma porta qualquer? n-ésima porta?
Soluções para a tarefa
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De acordo com o enunciado, o homem colhe certa quantidade de maçãs no pomar, e volta passando por 7 portas, onde em cada porta há um guarda. Após passar pela n-ésima porta, o homem dá ao guarda metade das maçãs que tinha, mais uma.
Considere f a função que fornece o número de maçãs que o homem possui. Dessa forma,
• f(0) é a quantidade de maçãs que ele colheu;
• A quantidade de maçãs restantes após o homem passar pela n-ésima porta é
f(n) = f(n – 1) – [(1/2) · f(n – 1) + 1]
f(n) = f(n – 1) – (1/2) · f(n – 1) – 1
f(n) = (1/2) · f(n – 1) – 1 para n = 1 ... 7
=====
Vamos descrever o que ocorre conforme o homem passa por cada uma das portas
• f(1) = (1/2) · f(0) – 1
• f(2) = (1/2) · f(1) – 1
f(2) = (1/2) · [(1/2) · f(0) – 1] – 1
f(2) = (1/2)² · f(0) – (1/2) – 1
• f(3) = (1/2) · f(2) – 1
f(3) = (1/2) · [(1/2)² · f(0) – (1/2) – 1] – 1
f(3) = (1/2)³ · f(0) – (1/4) – (1/2) – 1
Note que ao final sempre aparece a soma de uma P.G. de razão 1/2, com n termos. Observando o padrão que se segue, inferimos a seguinte fórmula:
A fórmula destacada acima fornece a quantidade de maçãs que restam após ele passar pela n-ésima porta. É fácil verificar que ela satisfaz a relação de recorrência
f(n) = (1/2) · f(n – 1) – 1
=====
De forma adicional, podemos encontrar quantas maçãs foram colhidas inicialmente.
Se após passar por 7 portas sobra 1 maçã, então temos que
O homem havia colhido 382 maçãs.
=====
Como a resposta pedida é a fórmula fechada, basta substituir f(0) = 382, e obtemos
<——— esta é a resposta.
Bons estudos! :-)
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