Matemática, perguntado por Thiago500p, 7 meses atrás

Um homem de 1,75 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma árvora, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo alfa é de 60º, determine a altura dessa árvore. ( Use √3=1,7)
A) 2,50m
B)3,47m
C)3,65
D)4,05m
E) 6 m

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Usando uma das razões trigonométricas, temos que a alternativa que corresponde à altura da árvore é a letra e) 6 m.

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Temos que um homem de 1,75 m de altura está a 2,5 m de distância de uma árvore. Queremos determinar a altura dessa árvore, e para isso vamos usar nossos conceitos sobre trigonometria num triângulo retângulo.

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Imaginemos que, rente à cabeça do homem se forma um ângulo alfa (α) (que equivale à 60º de acordo com o enunciado); a distância entre esse homem até a árvore é o cateto adjacente ao ângulo; e a altura da árvore (vamos chamar de h) é o cateto oposto ao ângulo. Isto é:

cateto adjacente = 2,5 m
cateto oposto = h

Assim, tendo a medida desse dois lados podemos usar a razão trigonométrica: tangente, que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

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Portanto temos que:

$\Large\begin{array}{l}\sf tg(\alpha)=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}\end{array}\\\\$

Obs.: pela tabela de ângulos notáveis, sabemos que tg(60º) = √3. Dessa forma:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf tg(\alpha)=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}\\\\\sf\iff~~~tg(60^o)=\dfrac{h}{2,5}\\\\\sf\iff~~~\sqrt{\:3~}=\dfrac{h}{2,5}\\\\\sf\iff~~~1,7=\dfrac{h}{2,5}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{h}{2,5}\cdot2,5=1,7\cdot2,5\\\\\sf\iff~~~\boxed{\sf h=4,25~m}\end{array}\\\\$

Contudo, não podemos esquecer de levar em consideração a altura do homem, que é de 1,75 m, assim:

$\\\begin{array}{l}\iff\sf~~~ altura~da~\acute{a}rvore=h+1,75\\\\\sf\iff~~~altura~da~\acute{a}rvore=4,25+1,75\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boxed{\sf altura~da~\acute{a}rvore=6~m}\end{array}\\\\$