Question

Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola . Considerando que no instante do lançamento (t=0) ele está a 2 metros do solo,1 segundo após ele atinge a altura de 5 metros e 2 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se:

a)a equação h(t) da altura em relação ao tempo,descrita pela sua trajetória;
b)quais os instantes,após o lançamento,em que ele atinge 9/2 metros?

Answer 1

Resposta:

Se a trajetora segue uma parábola, sua equação é do 2º grau e é dada por:

ax² + bx + c = y OU adequando isso ao problema: at² + bt + c = m, com t= tempo e h= altura atingida em metros.

Temos 3 informações:

1. Quando t = 0, h = 2, substituindo encontramos:

a.0² + b.0 + c = 2  => c = 2

2. Quando t = 1, h = 5, e já sabemos que c = 2, substituindo encontramos:

a.1² + b.1 + 2 = 5

a + b = 3

3. Quando t = 2, h = 0, e já sabemos que c = 2, substituindo encontramos:

a.2² + b.2 + 2 = 0

4a + 2b = -2

Podemos então fazer um sistema de equações para descobrir a e b.

a + b = 3

4a + 2b = -2

Vou fazer por adição, multiplicando a primeira equação por (-2)

-2a -2b = -6

4a + 2b = -2

Somando temos:

2a = -8

a = -4

E assim, como a+b = 3,  encontramos que b = 7

a) A equação da parábola é h(t) = -4t² + 7t + 2

b) É só igualar a equação a nove terços e resolver.

$-4t^2 + 7t + 2 = \dfrac{9}{2}$

Para sumir com o denominador, multiplicamos toda a equação por 2 e por fim resolvemos com fórmula de Bhaskara.

$-8t^2 + 14t + 4 = 9 => -8t^2 + 14t +4 - 9 = 0 => -8t^2 + 14t - 5 = 0$

$\Delta = 14^2 - 4.(-8).(-5)\\\Delta = 196 - 160\\\Delta = 36$

$t_{1} = \dfrac{-14+\sqrt{36} }{2.(-8)} = \dfrac{-14+6}{-16} = \dfrac{-8}{-16} = \dfrac{1}{2}$

$t_{2} = \dfrac{-14-\sqrt{36} }{2.(-8)} = \dfrac{-14-6}{-16} = \dfrac{-20}{-16} = \dfrac{5}{4}$