Question

um homem 1,60 m de altura avista o topo de uma construção sob um ângulo de 30° em relação á horizontal. Quando ele aproxima 15 m do edifício, esse ângulo aumenta para 45°. Qual a altura do edifício.

Answer 1

O desenho anexo representa a situação.

Como podemos ver temos dois triangulos retangulos e, portanto, podemos utilizar as relações de seno, cosseno e tangente.

No triangulo com angulo de 45°:

--> "x" é o cateto adjacente ao angulo de 45°

--> altura' é o cateto oposto ao angulo de 45°

No triangulo com angulo de 30°:

--> (x+15) é o cateto adjacente ao angulo de 30°

--> altura' é o cateto oposto ao angulo de 30°

Aplicando a relação da tangente para os dois triangulos, temos:

$tg(\alpha)=\frac{cateto\;oposto}{cateto\;adjacente}\\\\\\tg(45^\circ)=\frac{altura'}{x}\\\\altura'=x.tg(45^\circ)\\\\altura'=x\;.\;1\\\\altura'=x\\\\\\tg(30^\circ)=\frac{altura'}{x+15}\\\\altura'=(x+15).tg(30^\circ)\\\\altura'=(x+15).\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\altura'=\frac{\sqrt{3}}{3}x+5\sqrt{3}$

Igualando as duas equações de altura':

$x=\frac{\sqrt{3}}{3}x+5\sqrt{3}\\\\x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=5\sqrt{3}\\\\\frac{3-\sqrt{3}}{3}x=5\sqrt{3}\\\\x=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\\\x=\frac{15\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}.\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\\\x=\frac{15\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{3^2-\sqrt{3}^2}\\\\x=\frac{45\sqrt{3}+15\sqrt{3}^2}{9-3}\\\\x=\frac{15\sqrt{3}+15}{2}$

Como altura' é igual a x:

$altura'=\frac{15\sqrt{3}+15}{2}$

Note, no entanto, que nao consideramos a altura do homem. A altura real será:

$altura=\frac{15\sqrt{3}+15}{2}+1,60\\\\altura=\frac{91+75\sqrt{3}}{10}\;m$