Question

Um hexágono regular circunscrito em uma circunferência tem lado valendo (4+√3/2)m. Calcule o raio da circunferência, a apótema, o perímetro e a área do hexágono regular. Me ajude por favorrrrrrr!?​

Answer 1

Resposta:

4+3 = 7/2 = 3,5

Explicação passo-a-passo:

Espero ter ajudado

Answer 2

Realizando os cálculos necessários, podemos afirmar que:

• O raio da circunferência mede ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m.
• O apótema do hexágono mede  ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m.
• O perímetro do hexágono mede (24 + 3√3) m.
• A área do hexágono mede (24√3 + 27 + √3 + $\frac{27\sqrt{2} }{4}$ ) m².

Para resolver e entender a questão, é essencial entender alguns conceitos.

Polígonos regulares

Polígonos regulares são polígonos cujos lados e ângulos são congruentes, isso é, iguais.

Figuras circunscritas

Quando dizemos que uma figura está circunscrita em uma circunferência estamos querendo dizer que há uma circunferência inserida nela. Lembre-se: para uma figura ser circunscrita, os lados dela devem tangenciar a circunferência em algum ponto. A questão nos informa que há um hexágono regular circunscrito em uma circunferência.

Raio, apótema, perímetro e área

O raio de uma circunferência é a distancia entre o centro a um ponto da circunferência.

Apótema é um segmento de reta cujas extremidades são o centro do polígono regular e um de seus lados. Entretanto, este segmento de reta necessariamente tem que ser perpendicular ao lado.

Perímetro é a soma de todos os lados de uma figura.

Área é a medida de uma superfície plana.

Resolução do exercício

Entendendo esses conceitos, podemos resolver o exercício.

Para melhor entendimento, veja a imagem anexada na resposta.

Primeiramente, vamos calcular o raio da circunferência. Note que podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros. O lado do hexágono coincide com a base do triângulo, assim como a altura coincide com o raio da circunferência. Podemos calcular o apótema de um hexágono regular utilizando a fórmula:

a = $\frac{l\sqrt{3} }{2}$

Em que :

a = apótema

l = lado do polígono

O enunciado nos informa que l = (4+√3/2)m. Utilizando a fórmula:

a = $\frac{l\sqrt{3} }{2}$

a = $\frac{(4+\frac{\sqrt{3} }{2}) . \sqrt{3} }{2}$

a = $\frac{4\sqrt{3} + \frac{3}{2} }{2}$

a = $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$

A altura mede ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m.

Logo, o raio também mede  ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m.

Note que o apótema deste hexágono coincide com o raio. Logo, o apótema também mede   ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m.

Agora vamos calcular o perímetro. Sabendo que cada lado mede (4+√3/2)m e que um hexágono tem 6 lados, o perímetro será dado por:

p = 6 . (4+√3/2)

p = 24 + 6√3/2

p = 24 + 3√3

O perímetro do hexágono é de (24 + 3√3) m.

Por fim, devemos calcular a área do hexágono. Para isso, podemos calcular a área dos triângulos separadamente, e depois multiplicar por 6, visto que o hexágono é formado por 6 destes triângulos.

A área de um triângulo é dada por:

a = $\frac{b . h}{2}$

Em que:

a = área

b = base

h = altura

Vimos anteriormente que a base do triângulo mede (4+√3/2)m e a altura mede  ( $2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$) m. Utilizando a fórmula:

a = $\frac{b . h}{2}$

a =  $\frac{(4+3\sqrt{2)} . (2\sqrt{3}+\frac{3}{4}) }{2}$

a =  $\frac{8\sqrt{3}+3+6\sqrt{6} + \frac{9\sqrt{2} }{4} }{2}$

a = 4√3 + $\frac{3}{2}$ + 3 + $\frac{9\sqrt{2} }{8}$

Se a área de um triângulo é (4√3 + $\frac{3}{2}$ + 3 + $\frac{9\sqrt{2} }{8}$) m², a área de 6 triângulos será:

6 .  (4√3 + $\frac{3}{2}$ + 3 + $\frac{9\sqrt{2} }{8}$) =

24√3 + $\frac{18}{2}$ + 18 + $\frac{54\sqrt{2} }{8}$ =

24√3 + 27 + √3 + $\frac{27\sqrt{2} }{4}$

A área do hexágono é de (24√3 + 27 + √3 + $\frac{27\sqrt{2} }{4}$ ) m².

Espero ter ajudado!