Question

Um grupo de escoteiros irá fazer pizzas para vender para um abrigo de animais abandonados. Cada pizza será composta por massa, molho e, mais três ingredientes diferentes entre si. Esses ingredientes serão escolhidos entre uma variedade de 11 ingredientes diatintos. Quantas possibilidades de tipis de pizzas diferentes esse grupo se escoteiros pode fazer?

Answer 1

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⠀⠀☞ Temos um total de 165 possibilidades de pizzas diferentes para os escoteiros utilizando 3 de 11 ingredientes. ✅

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• ⠀⠀O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número total de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada etapa.  

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⠀⠀Desta forma temos 3 etapas (a escolha de 3 ingredientes) dentre 11 opções (sem repetição). Isso nos dá um total de:

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⠀⠀11⠀×⠀10⠀×⠀9⠀= 990

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⠀⠀Repare que nosso total de combinações poderia também ser escrito da seguinte forma:

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$\blue{\Large\sf~\dfrac{11!}{8!}~\begin{cases}\text{ \sf~ = \dfrac{11 \times 10 \times 9 \times \diagup\!\!\!\!{8}!}{\diagup\!\!\!\!{8}!} }\\\\ \sf~ = 11 \times 10 \times 9 \end{cases}}$

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⠀⠀✋ Mas espere um pouco! Temos combinações que resultam na mesma pizza! Veja que, por exemplo, se escolhermos a combinação TOMATE - AZEITONA - BACON ou a combinação BACON - TOMATE - AZEITONA nossa pizza será exatamente a mesma!

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⠀⠀"-Mas como encontramos então o número de repetições?"

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⠀⠀As combinações repetidas são todas aquelas em que uma determinada combinação tem seus elementos permutados entre si, ou seja, embaralhados entre si. Sabemos que o número de permutações para 3 etapas é de 3!, ou seja, para excluirmos as repetições do nosso total de 990 basta dividirmos por 3!:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{990}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{990}{6}}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ 165~possibilidades. }~~~}}$ ✅

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⠀⠀Poderíamos também ter escrito nosso total de combinações já sem as repetições da forma:

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~\dfrac{11!}{8! \times 3!}~~}}}$

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⠀⠀Observe que esta é exatamente a fórmula para combinação de n elementos tomados de p em p:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf C_n^p = \left(\begin{array}{c}\sf n\\\sf p\end{array}\right) = \dfrac{n!}{(n - p)! \cdot p!}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo o total de possibilidades;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf p }}$ sendo o total de etapas.  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre combinação:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38344096

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38359395

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38521539

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$