Question

um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logistico, bastante conhecido por matematicos e biologos, para estimar o numero de pássaros, p(t), de determinada especie numa area de protecao ambiental:
500
P(t)= ------------
1+2^2-t
Sendo t o tempo em anos e t=0 o momento em que o estudo Foi iniciado.
a) Em Quanto tempo a populacao chegara a 400 individuos?
b) À medida que o tempo t aumenta, o numero de passaros dessa especie se aproxima de qual valor? Justifique sua resposta

Answer 1

$P(t) = \frac{500}{1 + (2)^{2-t}} \\ \\ 400 = \frac{500}{1 +(2)^{2-t}} \\ \\ 400[1+(2)^{2-t}]=500 \\ \\ 1+(2)^{2-t}=\frac{500}{400} \\ \\ 1 + (2)^{2-t} = 1,25 \\ \\ 2^{2-t} = 0,25 \\ \\ 2^{2-t} = \frac{1}{4} \\ \\ 2^{2-t} = 2^{-2} \\ \\ 2-t = -2 \\ \\ t =4$

Para um tempo muito longo, $2^{2-t}$ se aproxima de 0, portanto:
$P(t) = \frac{500}{1+0} = 500$

Answer 2

A população chegará a 400 indivíduos em 4 anos e a medida que o tempo aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de 500.

Temos que $P(t)=\frac{500}{1+2^{2-t}}$.

a) Como o número de pássaros é representado por P(t) e queremos saber em quanto tempo (t) a população chegará a 400 indivíduos, então vamos igualar a função P a 400, ou seja,

$\frac{500}{1+2^{2-t}}=400$.

Temos aqui uma equação exponencial:

$500 = 400(1+2^{2-t})$

$500 = 400 + 400.2^{2-t}$

$100 = 400.2^{2-t}$

Observe que podemos dividir a equação por 100. Assim, obtemos:

$1 = 4.2^{2-t}$.

Existe uma propriedade de potenciação que nos diz que: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$. Então,

$\frac{1}{4}=\frac{2^2}{2^t}$

$2^t = 4.2^2$

$2^t = 16$

$2^t = 2^4$

Como as bases são iguais, então podemos concluir que t = 4 anos.

b) A medida que o tempo t aumenta, o valor de $2^{2-t}$ chegará mais próximo de 0.

Então, temos que:

$P(t)=\frac{500}{1+0}$

P(t) = 500 pássaros.

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