Question

Um grupo de alunos ´e formado por 6 meninas e 4 meninos. Katia ´e uma das meninas
e Marcelo ´e um dos meninos. Um professor decide formar grupos de 4 alunos para um determinado jogo. Cada
grupo deve conter pelo menos 1 menina e 1 menino. Escolhendo-se, aleatoriamente, um dos grupos poss´ıveis,
determine a probabilidade de Katia e Marcelo fazerem parte do grupo escolhido.

Answer 1

Como queremos formar grupos, então a ordem não é importante. Assim, utilizaremos a Combinação:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

O grupo formado deverá conter pelo menos 1 menina e 1 menino.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

1 menina e 3 meninos;

2 meninas e 2 meninos;

3 meninas e 1 menino.

Logo, a quantidade de grupos que podem ser formados é igual a:

C(6,1).C(4,3) + C(6,2).C(4,2) + C(6,3).C(4,1) =

$\frac{6!}{1!5!}. \frac{4!}{3!1!}+ \frac{6!}{2!4!}. \frac{4!}{2!2!}+ \frac{6!}{3!3!}. \frac{4!}{1!3!}=$

6.4 + 15.6 + 20.4 =

24 + 90 + 80 =

194.

Agora, vamos calcular em quantos grupos Kátia e Marcelo estão juntos.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

Kátia, Marcelo, 2 meninas;

Kátia, Marcelo, 2 meninos;

Kátia, Marcelo, 1 menina e 1 menino.

Logo, a quantidade de grupos é igual a:

C(5,1).C(3,1) + C(5,2) + C(3,2) =

$\frac{5!}{1!4!}. \frac{3!}{1!2!}+ \frac{5!}{2!3!} +\frac{3!}{2!1!}=$

5.3 + 10 + 3 =

28.

Portanto, a probabilidade é igual a:

$P=\frac{28}{194}$

$P=\frac{14}{97}$.