Um grupo de alunos do nono ano decidiu comprar um presente no valor de R$60,00 para seu professor. O valor deveria ser dividido igualmente entre os alunos participantes. No entanto, no dia combinado para levarem o dinheiro, 3 alunos faltaram. Dessa forma, cada um dos alunos presentes precisou contribuir com mais R$1,00. No fim, quantos alunos efetivamente contribuíram com a compra do presente?
Soluções para a tarefa
n = número de alunos. Então, equacionando a situação, temos:
x = 60/n (se nenhum aluno faltasse) (I)
(x + 1) = 60/(n - 3) (faltando 3 alunos, aumenta o valor dos demais em IR$ 1,00) (II)
De (II), temos: (x + 1).(n - 3 ) = 60 (III). Substituindo (III) em (I), temos a equação do 2º grau: n² - 3n - 180 = 0; resolvendo essa equação, temos: n = - 12 alunos(não convém) e n = 15 alunos.
Portanto, n = 15 alunos contribuirão com o presente.
Um total de 15 alunos do nono ano efetivamente contribuíram na compra do presente para o professor. Para resolver esta questão precisamos montar um sistema de equações.
O que é um sistema de equações
Um sistema de equação são um conjunto de equações que possuem duas incógnitas diferentes. Existem duas formas de resolução de um sistema de equações.
- A adição é feita somando as duas equações com o objetivo de eliminar uma das incógnitas.
- Na substituição isolamos uma das incógnitas e substituímos na outra equação.
Vamos montar as equações com as informações que temos. Se todos os alunos participarem da divisão o valor pago seria:
60/y = x
Onde:
- y é o numero de alunos
- x é a divisão igualitária
Como 3 pessoas faltaram, o restante teve que pagar R$ 1,00 a mais. A equação será a seguinte:
y - 3 = 60/(x + 1)
O lado esquerdo indica o número de pessoas que efetivamente participaram da divisão. O lado direito indica a divisão do valor total que as pessoas que participaram da contribuição tiveram que pagar devido a ausência de 3 alunos.
O sistema de equações possuí essa forma:
60/y = x
y - 3 = 60/(x + 1)
Vamos utilizar o método da substituição para eliminar a incógnita y das equações, primeiro vamos isolar y na 1ª equação:
60/y = x
y = 60/x
Agora substituímos o valor de y na 2ª equação:
y - 3 = 60/(x + 1)
60/x - 3 = 60/(x + 1)
60/x - 60/(x + 1) = 3
O MMC de x e (x + 1) será a multiplicação x*(x + 1), reescrevendo as frações:
Fazendo a multiplicação cruzada:
3(x² + x) = 60
3x² + 3x = 60
3x² + 3x - 60 = 0
Podemos simplificar esta equação dividindo todos os termos por 3:
x² + x - 20 = 0
Resolvemos esta equação de 2º grau aplicando a fórmula de Bhaskara, começando pelo Δ:
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4*1*(-20)
Δ = 1 + 80
Δ = 81
Os valores de x serão:
x = (-b ±√Δ)/2a
x = (-1 ±√81)/2*1
x = (-1 ± 9)/2
Resolvendo para x1 e x2:
x1 = (-1 + 9)/2
x1 = 8/2
x1 = 4
x2 = (-1 - 9)/2
x2 = -10/2
x2 = -5
Como o valor pago não pode ser negativo, descartaremos x2 = -5. Encontramos o valor de y substituindo na 1ª equação:
y = 60/x
y = 60/4
y = 15 alunos
Para saber mais sobre sistema de equações, acesse:
brainly.com.br/tarefa/3931089
brainly.com.br/tarefa/46903584
#SPJ2