Um grupo de alunas se reuniu na cantina da escola para fazer uma pequena comemoração. Cada
uma delas contribuiu com uma certa quantia em dinheiro, que totalizou R$ 63,00. O valor
arrecadado será usado exclusivamente e integralmente para a compra de sucos e salgadinhos
que são vendidos no local.
Para ajudar na comemoração, no mesmo dia a dona da cantina realizou uma promoção e
ofereceu cada copo de suco pelo valor de R$ 3,00 e cada salgadinho pelo valor de R$ 7,00.
Diante da oferta, o grupo compreendeu que deve comprar obrigatoriamente pelo menos um copo
de suco e um salgadinho.
Nessas condições, qual é a quantidade de possibilidades de compra que o grupo tem à sua
disposição?
(A) 2
(B) 4
(C) 9
(D) 10
(E) 13
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Soluções para a tarefa
Resposta:
A alternativa correta é a letra A.
Explicação passo a passo:
Seja x a quantidade de copos de suco e y a quantidade de salgados e diante da situação apresentada temos a seguinte equação:
3x + 7y = 63
Tal equação é denominada equação diofantina (ax + by = c) onde queremos apenas as soluções inteiras e nesse caso mais específico soluções inteiras positivas.
É fácil ver que um solução particular da equação é y = 9 e x = 0 desse modo a solução geral é dada por:
Como queremos apenas soluções inteiras positivas:
7t > 0 ⇒ t > 0
9 - 3t > 0 ⇒ t < 3
Portanto há apenas duas soluções que satisfazem as condições do problema.
Para t = 1, x = 7 e y = 6 e para t = 2, x = 14 e y = 3.
Considerando as condições impostas pelo enunciado, o grupo possui duas possibilidades distintas (letra A) de realizar a compra.
Para responder esta pergunta será necessário trabalhar com o raciocínio lógico e com alguns conceitos de análise combinatória.
O enunciado diz que as meninas possuem 63 e vão gastar necessariamente toda essa quantia.
Além disso o enunciado diz que obrigatoriamente elas vão comprar pelo menos 1 suco e 1 salgado, sendo que o suco custará 3 e o salgado custará 7 reias.
Dessa forma, comprando 1 salgado e 1 suco elas já gastarão um total de:
3 + 7 = 10 reais
Assim sendo, tirando esses 10 reais dos 63 iniciais restam 53 reais (63 - 10).
De quantas maneiras pode-se distribuir exatos 53 reais entre sucos de 3 reais e salgados de 7 reais?
Para responder será necessário testar as possibilidades que dão certo.
Possibilidade 1:
2 salgados e 13 sucos, pois 2*7 + 13*3 = 14 + 39 = 53
Possibilidade 2:
5 salgados e 6 sucos, pois 5*7 + 6*3 = 35 + 18 = 53
Conclui-se portanto que apenas essas 2 possibilidades satisfazem a condição de que sejam gastos os 63 reais sendo que serão comprados pelo menos 1 suco e 1 salgado.
Para entender melhor sobre análise combinatória, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/13214145
