Question

Um grupo de 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?

Answer 1

A ordem de aparição das pessoas na comissão não importa, logo usaremos combinações simples

$\boxed{\boxed{\mathsf{C_{n,p}=\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}}}}$

Observações:

$\displaystyle\bullet\,\,\mathsf{C_{n,0}=\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1}\\\\\\\bullet\,\,\mathsf{C_{n,1}=\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n\cdot(n-1)!}{(n-1)!}=n}$
_______________________

Como queremos comissões com no mínimo 4 pessoas, teremos

$\bullet\,\,\mathsf{C_{10,4}~comiss\~oes~com~4~pessoas}\\\\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,5}~comiss\~oes~com~5~pessoas}\\\\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,6}~comiss\~oes~com~6~pessoas}\\\vdots\\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,10}~comiss\~oes~com~10~pessoas}$

Portanto, o número total de comissões com no mínimo 4 pessoas é

$\mathsf{N=\displaystyle\sum_{k=4}^{10}C_{10,k}=\sum_{k=4}^{10}\binom{10}{k}}\\\\\\\mathsf{N=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}}$

Usando que $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{k}1^{n-k}=(1+1)^{n}=2^{n}}$, temos que

$\displaystyle\mathsf{N=2^{10}-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}}\\\\\\\mathsf{N=1024-\bigg[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}\bigg]}\\\\\\\mathsf{N=1024-\bigg[1+10+\frac{10!}{2!8!}+\frac{10!}{3!7!}\bigg]}\\\\\\\mathsf{N=1024-\bigg[11+\frac{10\cdot9}{2\cdot1}+\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}\bigg]}\\\\\\\mathsf{N=1024-\big[11+45+120\big]}\\\\\\\mathsf{N=1024-176}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{N=848}}}$

Answer 2

Resposta:

848

Explicação passo-a-passo:

Pela fórmula C ₐ,ₓ = $\frac{a!}{x! (a-x) !}$ , temos que:

Sendo no mínimo 4 pessoas, aplicamos na fórmula

C₁₀,₄ = $\frac{10!}{4! (10-4)!}$

C₁₀,₄= $\frac{10!}{4!6!}$

C₁₀,₄ = $\frac{10X9X8X7X6!}{4!6!}$

C₁₀,₄= 5x3x2x7

C₁₀,₄= 210 comissões.

Temos, portanto, 210 comissões com 4 pessoas.

Seguimos calculando quantas comissões teremos até a décima que é a quantidade de pessoas no grupo.

Com 5 pessoas:

C₁₀,₅= $\frac{10!}{5!(10-5)!}$

C₁₀,₅= $\frac{10!}{5!5!}$

C₁₀,₅= $\frac{10X9X8X7X6X5!}{5!5!}$

C₁₀,₅= $\frac{10X9X8X7X6}{5X4X3X2}$

C₁₀,₅= 7x2x2x3x3

C₁₀,₅= 252

Com 6 pessoas:

C₁₀,₆= $\frac{10!}{6!4!}$

C₁₀,₆= $\frac{10X9X8X7X6!}{6!4!}$

C₁₀,₆=7x3x5x2=210

Com 7 pessoas:

C₁₀,₇= $\frac{10!}{7!3!}$

C₁₀,₇= $\frac{10X9X8X7!}{7!3!}$

C₁₀,₇= $\frac{10X9X8}{3X2X1}$

C₁₀,₇= 5x3x8

C₁₀,₇= 120

Com 8 pessoas:

C₁₀,₈= $\frac{10!}{8!2!}$

C₁₀,₈= $\frac{10X9X8!}{8!2!}$

C₁₀,₈=$\frac{10X9}{2}$

C₁₀,₈= 5x9

C₁₀,₈= 45

Com 9 pessoas:

C₁₀,₉=$\frac{10!}{9!1!}$

C₁₀,₉= $\frac{10X9!}{9!1!}$

C₁₀,₉=10

Com 10 pessoas:

C₁₀,₁₀= $\frac{10!}{10!}$

C₁₀,₁₀= 1

Após calcular a quantidade de comissões que podem ser formadas para os número de pessoas respectivas acima de 4, somamos todas para saber o número total

210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 848

Podem ser formadas 848 comissões de no mínimo 4 pessoas com as 10 pessoas disponíveis.