Question

Um grande magazine anuncia a venda de uma bicicleta por R$ 300,00 à vista, ou R$ 50,00 de entrada e mais 2 pagamentos mensais de R$ 135,00. Qual é a taxa mensal de juro no plano a prazo? (Utilizar √6.129 = 78.)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Silmaria, que a resolução é simples.
Tem-se que se a bicicleta for comprada à vista ela sairá por R$ 300,00.
Contudo, se ela for comprada a prazo, o magazine pede que o comprador dê uma entrada de R$ 50,00 e mais dois pagamentos mensais e iguais de R$ 135,00. Pede-se a taxa mensal de juros da transação a prazo.

Veja: deveremos trazer para o valor presente as duas parcelas de R$ 135,00 que serão pagas dentro de um mês e dentro de dois meses, pelo fator (1+i)ⁿ, sendo esse "n" igual a "1" para a parcela que se vencerá dentro de 1 mês e igual a "2" para a parcela que se vencerá dentro de 2 meses.
Assim, tomaremos o valor à vista (R$ 300,00) e subtrairemos o valor da entrada (R$ 50,00). Feito isso, igualaremos ao valor das duas parcelas trazidas para o valor presente da forma que informamos acima.
Então faremos isto:

300 - 50 = 135/(1+i)¹ + 135/(1+i)²
250 = 135/(1+i) + 135/(1+i)² -----mmc = (1+i)². Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

250 = [(1+i)*135 + 1*135]/(1+i)²
250 = [(135*(1+i) + 135]/(1+i)² ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
250*(1+i)² = 135*(1+i) + 135 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, com o que ficaremos assim:

250*(1+i)² - 135*(1+i) - 135 = 0 ---- veja: vamos fazer (1+i) = y. Com isso, ficaremos assim:

250y² - 135y - 135 = 0 --- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "5", com o que ficaremos:

50y² - 27y - 27 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, com o que ficaremos:

y = [-b+-√(Δ)]/2a ---- note que os coeficientes da equação acima e o seu Δ são estes:

a = 50 --- (é o coeficiente de x²)
b = - 27 --- (é o coeficiente de x)
c = - 27 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-27)² - 4*50*(-27) = 729 + 5.400 = 6.129.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

y = [-(-27) +- √(6.129)]/2*50
y = [27 +- √(6.129)]100 ----- como no enunciado da questão está sendo pedido que se considere √(6.129) = 78, então ficaremos:

y = [27 +- 78]/100 ----- daqui você conclui que:
y' = (27 - 78)/100 = -51/100 = - 0,51 <-- raiz inválida, pois os juros não são negativos.

y'' = (27+78)/100 = 105/100 = 1,05 <-- raiz válida.

Assim, vamos tomar apenas a raiz válida (y = 1,05). Mas lembre-se que fizemos (1+i) = y. Então, para y = 1,05, teremos:

1 + i = 1,05 ---- passando "1" para o segundo membro, teremos;
i = 1,05 - 1
i = 0,05 ou 5% ao mês <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.