Um grama de gelo, inicialmente a −40◦C, é posto em uma fonte de calor. Neste
experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T, em ◦C. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2
◦C. Quando atinge 0
◦C, são necessárias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal
para aumentar sua temperatura em 1
◦C.
a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
b) Determine a expressão de Q(T), para T ∈ [−40, 80].
c) Esboce o gráco de Q(T) para T ∈ [−40, 80].
Soluções para a tarefa
Temos Q(T) = (40 + T)/2 e Q(T) = T + 100, para o intervalo entre -40ºC e 80ºC.
a) Vemos que existe uma relação linear entre a temperatura T e a quantidade de calor absorvido, de acordo com o enunciado. A grama de gelo foi colocada inicialmente aos - 40ºC, logo:
Q(-40) = 0 cal
De -40ºC para -38ºC temos um acréscimo de 2ºC na temperatura do gelo. Se, para cada acréscimo de 2ºC absorveu-se 1 cal, logo:
Q(-38) = Q(-40) + 1 = 0 + 1 = 1 cal
De -40ºC para 0º acrescentou-se 40ºC, logo:
Q(0) = Q(-40) + 20 = 0 + 20 = 20 cal
Já para 2ºC, houve um acréscimo de 2ºC em relação ao 0ºC. Contudo, nessa faixa de temperatura, houve mudança de estado do gelo para líquido, deste modo necessitou-se de mais 80 cal extras nesse processo, logo:
Q(1) = Q(0) + 1 + 80 = 20 + 1 + 80 = 101 cal
Q(2) = Q(0) + 2 + 80 = 20 + 2 + 80 = 102 cal
b) Vamos dividir o intervalo em duas partes. Entre -40ºC e 0ºC temos gelo apenas, com o sistema absorvendo 1 cal para cada 2ºC de aumento de temperatura, logo teremos:
Q(T) = aT + b (relação linear)
, onde a e b são constantes reais.
Substituindo o ponto Q(-40) = 0 encontrado anteriormente:
Q(-40) = 0
-40a + b = 0
b = 40a
Substituindo:
Q(T) = aT + 40a = a(T + 40)
Agora pegando o ponto Q(-38) = 1 cal:
Q(-38) = 1
a(-38 + 40) = 1
a = 1/2
Logo temos:
Q(T) = (T + 40)/2 , para -40ºC ≤ T ≤ 0ºC
Agora vamos analisar o intervalo entre 0ºC e 80ºC. Aqui já temos o estado líquido, portanto, desde o início, devemos levar em conta o acréscimo das 80 cal para a mudança de estado e que, agora, para cada 1ºC absorve-se 1 cal apenas. Teremos a mesma relação linear:
Q(T) = aT + b
Tomando o ponto Q(1) = 101 cal, temos:
Q(1) = 101
a + b = 101
b = 101 - a
Substituindo e Q(T):
Q(T) = aT + 101 - a = a(T - 1) + 101
Tomando agora o ponto Q(2) = 102 cal:
Q(2) = 102
102 = a(2 - 1) + 101
a = 1
Logo:
Q(T) = T - 1 + 101 = T + 100, para 0 < T ≤ 80ºC
Resumindo, temos:
c) Anexei o gráfico no final da resolução.
Importante ressaltar que ele foi dividido em duas partes, nos mesmos intervalos investigados na letra b). Importante também frisar que o ponto T = 0ºC é onde ocorre a mudança, e ele esta contido apenas na primeira equação encontrada anteriormente.
Você pode aprender mais sobre Funções aqui: https://brainly.com.br/tarefa/58428
