Question

Um goleiro chuta uma bola cuja trajetória descreve a parábola y= -2x² +16x, onde x e y são medidas em metros. Nestas condições, a altura máxima, em metros, atingida pela bola é?

Answer 1

A altura máxima procurada é o valor máximo que $y$ assume.

Encontrar o valor máximo da função

$y=-2x^{2}+16x$


Multiplicando os dois lados por $-2$

$-2y=4x^{2}-32x$


Somando $64$ aos dois lados da equação, temos

$-2y+64=4x^{2}-32x+64\\ \\ 64-2y=(2x-8)^{2}$


Completamos um quadrado perfeito do lado direito. Sabemos que o quadrado de um número real não pode ser negativo. Então, temos que

$(2x-8)^{2}\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;64-2y \geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;64 \geq 2y\\ \\ \Rightarrow\;\;y \leq \dfrac{64}{2}\\ \\ \Rightarrow\;\;y \leq 32$


Da última desigualdade acima, verifica-se que o valor máximo para $y$ é

$y_{\text{max}}=32\text{ metros.}$