Question

Um galpão será construído em um terreno triangular, com dimensões 70 m, 80 m e 50 m. Se a construção ocupar 70% da área disponível, qual será a área restante?

Answer 1

》 A área restante do terreno triangular será 300√3 m².

O terreno tem formato triangular e os lados medem: 70 m, 80 m e 50 m. Como os lados desse triângulo possuem medidas diferentes, esse polígono é chamado escaleno.

• A questão pergunta: se a construção ocupar 70% da área disponível, qual será a área restante?

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos abaixo:

1. Calcular o perímetro;
2. Calcular o semiperímetro;
3. Aplicar a fórmula de Heron;
4. Calcular a área restante.

Vamos lá!

1. Perímetro do triângulo:

Para calcular o perímetro basta somar a medida dos lados do triângulo.

As medidas são:

a = 70 m

b = 80 m

c = 50 m

Então o perímetro é:

$\large\sf{a~+~b~+~c~=~}$

$\large\text{ \sf{70~m~+~80~m~+~50~m~=~\boxed{\sf{200~m}}} }$

2. Semiperímetro do triângulo:

Para calcular o semiperímetro do triângulo basta dividir o perímetro por 2, então o semiperímetro é:

$\large\text{ \sf{\dfrac{200~m}{2}~=~\boxed{\sf{100~m}}} }$

3. Área do triângulo pela fórmula de Heron:

Por se tratar de um triângulo a fórmula da área seria aquela bem conhecida: "base multiplicada pela altura e esse resultado dividido por dois", mas não temos a informação da altura, então vamos calcular a área pela fórmula de Heron.

• A fórmula é:

$\Large\text{ \sf{A~=~\sqrt{p~.~(p~-~a)~.~(p~-~b)~.~(p~-~c)}} }$

• Sendo que:

A = área = ?

p = semiperímetro = 100 m

a = 70 m

b = 80 m

c = 50 m

• Substituindo os dados na fórmula e resolvendo os cálculos:

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{p~.~(p~-~a)~.~(p~-~b)~.~(p~-~c)}} }$

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{100~.~(100~-~70)~.~(100~-~80)~.~(100~-~50)}} }$

Resolvendo primeiro as subtrações que estão dentro dos parênteses:

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{100~.~(30)~.~(20)~.~(50)}} }$

Eliminando os parênteses:

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{100~.~30~.~20~.~50}} }$

Resolvendo as multiplicações:

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{3000000}} }$

Fatorando:

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~3~.~5~.~5~.~5~.~5~.~5~.~5}} }$

$\large\text{ \sf{A~=~\sqrt{2^{2}~.~2^{2}~.~2^{2}~.~3~.~5^{2}~.~5^{2}~.~5^{2}}} }$

Os números com expoente 2 podem sair da raiz quadrada:

$\large\text{ \sf{A~=~2~.~2~.~2~.~5~.~5~.~5~\sqrt{3}} }$

Resolvendo as multiplicações dos números que estão fora da raiz chegaremos à área disponível do triângulo:

$\large\text{ \boxed{\sf{A~=~1000~\sqrt{3}~m^{2}}} }$

4. Calcular a área restante:

O galpão vai ocupar 70% da área disponível, então vão restar 30%.

Para saber o valor da área restante basta multiplicar 30% por 1000√3 m²:

$\large\text{ \sf{30\%~.~1000\sqrt{3}} }$

30% é a mesma coisa que 30/100, então:

$\large\text{ \sf{\dfrac{30}{100}~.~1000\sqrt{3}} }$

$\large\text{ \sf{\dfrac{30~.~1000\sqrt{3}}{100}} }$

Resolvendo a multiplicação do numerador:

$\large\text{ \sf{\dfrac{30000\sqrt{3}}{1\backslash\!\!\!0\backslash\!\!\!0}} }$

Podemos "cortar" dois zeros do numerador e dois zeros do denominador:

$\large\text{ \sf{\dfrac{300\backslash\!\!\!0\backslash\!\!\!0\sqrt{3}}{1\backslash\!\!\!0\backslash\!\!\!0}} }$

Vai restar:

$\large\text{ \sf{\dfrac{300\sqrt{3}}{1}} }$

Resolvendo essa divisão chegaremos ao resultado:

$\large\text{ \boxed{\boxed{\boxed{\sf{300\sqrt{3}~m^{2}}}}} }$

》 Portanto, a área restante será 300√3 m².

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Answer 2

Usando a Lei dos cossenos

a²=b²+c²-2*b*c*cos(β)   ...........β ângulo entre b e c

70²=80²+50²-2*80*50 * cos(β)

cos(β)=(70²-80²-50²)/(-2*80*50)

cos(β)=(4900-6400-2500)/(-8000)

cos(β)=0,5    ==>β =60º

Área de qualquer triângulo

A=(1/2)*L1*L2* sen(β)  ........β ângulo entre L1 e L2

Área do terreno

A=(1/2)* 80*50 * sen(30°) = 2000 * √3/2 =1000√3

área restante é 30% de 1000√3 =0,3*1000√3

área restante =300√3 m²