Question

Um funil cônico tem um diâmetro de 30 centímetros na parte superior e altura de 40 centímetros. Se o funil for alimentado à taxa de 1,5 l/seg e tem uma vazão de 800cm³/seg, determine quão rapidamente está subindo o nível de água quando esse nível for de 25 centímetros.

Answer 1

O funil está representado na figura em anexo. Foi dito que o diâmetro d do funil é de 30 cm. Logo, o raio R será d/2

(d/2) = R
(30/2) = R
R = 15 cm

A partir disto temos o volume de um cone:

V = (1/3)*π*r²*h

Podemos relacionar o raio de água no funil com a altura ocupada a partir dos valores dados do Raio total e da Altura total, logo:

r/h = R/H
r/h = 15/40
r/h = 5/8
r = (5/8)*h

Logo, podemos calcular o volume de água a partir somente da altura. Substituindo:

$V = (1/3)* \pi *r^{2}*h$
$V = (1/3)* \pi *(5*h/8)^{2}*h$
$V = (1/3)* \pi *(5/8)^{2}*h^{2}*h$
$V = (1/3)* \pi *(5/8)^{2}*h^{3}$

A variação do volume de água no volume é dado por dVe/dt = 1,5 L/s e dVs/dt = 800 cm³/s. Calcularemos a Variação do volume:

dV/dt = dVe/dt - dVs/dt

Como 1 L = 1000 cm³, temos que dVe/dt será:

dVe/dt = 1500 cm³/s

Logo, dV/dt será:

dV/dt = 1500 - 800
dV/dt = 700 cm³/s

Derivando V em relação ao tempo, temos

$\frac{dV}{dt} = \frac{d{(1/3)* \pi *(5/8)^{2}*h^{3}}}{dt}$

Como com a variação do volume a altura também varia, faremos a derivada de h³, logo:

$\frac{dV}{dt} = (1/3)* \pi *(5/8)^{2}*3*h^{2}*\frac{dh}{dt}$

Logo, como dV/dt = 700 cm³/s e h = 25 cm, temos:

$700 = (1/3)* \pi *(5/8)^{2}*3*25^{2}*\frac{dh}{dt}$
$\frac{700*64}{\pi*25*625} =  \frac{dh}{dt}$
$\frac{1792}{625*\pi} =  \frac{dh}{dt}$

Portanto, em h= 25 cm a altura varia em $\frac{dh}{dt} =\frac{1792}{625*\pi}$

Espero ter ajudado. Bons estudos