Question

Um funcionário tem 840 folhas de documentos de uma
empresa para guardar nas pastas de que dispõe, sendo que
em todas elas o número de folhas deverá ser o mesmo. Se ele
colocar duas folhas a menos em cada pasta, ele precisará de
14 pastas a mais.
O número de pastas que o funcionário tem para colocar as
folhas dos documentos é

A) um número primo.
B) um número que é múltiplo de 3.
C) um número que é múltiplo de 7.
D) um número que é um quadrado perfeito.
E) um número que é múltiplo de 4.​

Answer 1

Resposta:

C

Explicação passo-a-passo:

O número de pastas é um divisor de 840

840 dividido pelo número de pastas vai dar um número de folhas inteiro

840 dividido por esse número de folhas inteiro - 2 = número de pastas + 14

840/x = p

840/(x-2) = p + 14

840 = (x - 2) (p + 14)

840 = (x - 2) (840/x + 14)

840 = 840 + 14x -1680/x - 28

14x² - 28x - 1680 = 0

x² - 2x - 120 = 0

x = (2 + 22) / 2 = 12

12 folhas

70 pastas

Verificando

se for 10 folhas

84 pastas ( 14 pastas a mais) TÁ CERTINHO

Answer 2

Resposta:

Alternativa C

Explicação passo-a-passo:

Para resolver essa questão vamos considerar p como o número de pastas e x a quantidade de folhas que temos em cada pasta. Para a situação inicial:

$x.p=840\\p=\frac{840}{x}$

A partir dessa informação, temos que o número de pastas (p) é um divisor de 840 e, além disso, como guardamos folhas inteiras nas pastas, x também é um número inteiro.

Agora, para a segunda situação (hipotética):

Duas folhas a menos em cada pasta :  $x'=(x-2)$

14 pastas a mais: $p'=(p+14)$

Ainda temos 840 folhas, então a quantidade de folhas por pasta multiplicada pela quantidade de pastas ainda será 840:

$x'.p'=840\\(x-2).(p+14)=840$

Como temos que $p=\frac{840}{x}$,

$(x-2).(\frac{840}{x} +14)=840$

$x.\frac{840}{x}+x.14+(-2).\frac{840}{x}+(-2).14=840$

$840+14x-\frac{1680}{x}-28-840=0$

$+14x+840-28-840-\frac{1680}{x}=0$

$[+14x-28-\frac{1680}{x}].x=0.x$

$(\frac{1}{14})[ +14x^2-28x-1680]=(\frac{1}{14}). 0$

$x^2-2x-120=0$

$\Delta=(-2)^2-4.1.(-120)=4+480=484$

$x_1=\frac{-(-2)+22}{2.1} =\frac{2+22}{2}=\frac{24}{2} =12$

$x_2=\frac{-(-2)-22}{2.1} =\frac{2-22}{2}=\frac{-20}{2} =-10$

Como estamos contando folhas inteiras, trata-se de um número natural (ou inteiro positivo). Sendo assim, a quantidade de folhas em cada pasta na situação inicial é de 12 folhas. Sendo assim, a quantidade de pastas é dada por:

$p=\frac{840}{x}=\frac{840}{12}=70$

Portanto, o funcionário tem 70 pastas para colocar as folhas dos documentos (a segunda situação é uma situação hipotética, segundo o enunciado).

Temos então que:

(a) 70 não é um número primo, visto que apresenta divisores como 2, 5 e 7

(b) 70 não é multiplo de 3, visto que 70 não é divisível por 3

(c) 70 é um múltiplo de 7, visto que 70 é divisível por 7

(d) 70 não é um quadrado perfeito, pois se fosse, sua raiz seria um número inteiro ( $\sqrt{70}\approx 8,37$)

(e) 70 não é um múltiplo de 4, visto que em sua decomposição em fatores primos há apenas um número 2 ( $70 = 2^1.3^1.5^1$), sendo múltiplo de 2, não de 4.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.