Question

Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe imprime uma aceleração de 1,5g (g = aceleração da gravidade) durante o período de queima, esgota-se após 1/2 min. (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete, se pudéssemos desprezar a resistência do ar? (b) Com que velocidade (em m/s e km/h) e depois de quanto tempo, ele voltaria a atingir o solo?

Answer 1

Resposta:

Vamos dividir o percurso do foguete em três etapas:

A etapa 1 vai do seu lançamento até o esgotamento do combustível, e tem duração de $\Delta t_1 = 30\,\,s;$

A etapa 2 vai do esgotamento do combustível até o momento em que o foguete atinge a altura máxima, quando sua velocidade se anula;

A etapa 3 vai do momento em que atinge a altura máxima até o momento em que volta ao solo.

a) Calculemos a altura atingida pelo foguete na etapa 1:

$y_1 = y_0 + v_0\Delta t_1 + \frac{1}{2}a \Delta t_1^2\\\\\Longleftrightarrow y_1 = 0 + 0 \cdot 30 + \frac{1}{2} \cdot 1,5g \cdot 30^2\\\\\Longleftrightarrow y_1 = 6621,8\,\,m.$

Calculemos a velocidade que atinge o foguete ao fim dessa etapa:

$v_1^2 = v_0^2 + 2a\Delta y\\\\\Longleftrightarrow v_1^2 = 0^2 + 2 \cdot 1,5g \cdot 6621,8\\\\\Longleftrightarrow v_1 = 441,45\,\,m/s.$

Em seguida, o foguete continuará a subir, mas desta vez sendo desacelerado pela gravidade. Sua subida ocorrerá até o instante em que sua velocidade se anula.

Calculemos o intervalo de tempo da etapa 2:

$v_2 = v_1 + a\Delta t_2\\\\\Longleftrightarrow 0 = 441,45 - g\Delta t_2\\\\\Longleftrightarrow \Delta t_2 = 45\,\,s.$

Calculemos a altitude atingida ao fim da etapa 2 – sua altitude máxima:

$y_2 = y_{max} = y_1 + v_1 \Delta t_2 -\frac{1}{2}g \Delta t_2^2\\\\\Longleftrightarrow y_{max} = 6621,8 + 441,45 \cdot 45 - \frac{1}{2}\xdot g\cdot 45^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{y_{max} = 16554,4\,\,m.}$

b) Calculemos o tempo que leva a etapa 3:

$y_3 = y_2 + v_2 \Delta t_3 - \frac{1}{2}g\Delta t_3^2\\\\\Longleftrightarrow 0 = 16554,4 + 0 \cdot \Delta t_3 - \frac{1}{2}g\Delta t_3^2\\\\\Longleftrightarrow \Delta t_3 = 58,1\,\,s.$

Calculemos a velocidade com que chega ao solo:

$v_3 = v_2 - g \Delta t_3\\\\\Longleftrightarrow v_3 = 0 - g \cdot 58,1\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v_3 = 569,9\,\,ms = 2051,7\,\,km/h.}$

Calculemos o intervalo de tempo que leva o foguete para, uma vez lançado, retornar ao solo:

$\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3\\\\\Longleftrightarrow \Delta t = 30 + 45 + 58,1\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\Delta t = 133,1\,\,s.}$