Question

Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura h, em relação ao solo, é dada, em função do tempo, pela função h = 2 + 24t – $t^{2}$, em que o tempo é dado em segundos e a altura é dada em metros. Calcule:
a) a altura do foguete 3 segundos depois de lançado.
b) o tempo necessário para o foguete atingir a altura de 97 metros

Answer 1

Resposta:

a) Elevou-se a 65m , passados 3 segundos depois de atirado

b) O tempo necessário para o foguete atingir a altura de 97 metros.

foi de 5 segundos

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura h, em relação ao solo, é dada, em função do tempo, pela função h = 2 + 24t - t² , em que o tempo  (t ) é dado em segundos e a altura ( h ) é dada em metros.

Calcule:

a) a altura do foguete 3 segundos depois de lançado.

b) o tempo necessário para o foguete atingir a altura de 97 metros

Resolução:

Nota 1 → O foguete segue a trajetória na forma de uma parábola.

Logo a abordagem às pergunta tem sempre presente tal fato.

a) a altura do foguete 3 segundos depois de lançado.

É preciso calcular h (3) , pois aqui é dado t = 3 s  e pedido h ( 3 )

h ( 3 ) = 2 + 24 * 3 - 3²  

h ( 3 ) = 2 + 72 - 9

h ( 3 ) = 65 m

b) o tempo necessário para o foguete atingir a altura de 97 metros

É preciso calcular t segundos  , pois aqui é dado  a altura de 97 m, e pedido o tempo necessário para atingir tal altura.

97 = 2 + 24t - t²

Passar tudo para o 1º membro, trocando o sinal

- t² + 24 t  - 97 + 2 = 0

- t² + 24 t  - 95 = 0

Mudança de variáveis

y = 2 + 24x - x²        y = h  ;   x = t

Usar fórmula de Bhaskara

x = ( - b ±√Δ ) /2a

a =   - 1

b =   24

c =  - 95

Δ = b² - 4 * a * c

Δ =  24 ² - 4 * ( - 1 )  * ( - 95)  =  576 - 380 = 196

√Δ = √196 =  14

x1 = ( - 24 + 14  ) /( 2 * (- 1 )  

x1 = - 10 / - 2

x1 = 5 segundos    A altura de 97 m foi atingida aos 5 segundos

x2 = ( - 24 - 14 ) / ( - 2 )

x2 = - 38 / - 2

x2 = 19 s    A altura voltou outra vez a ser atingida aos 19 s, quando o foguete seguia uma trajetória descendente, como confirmação que mais à frente irá ser demonstrada.

O tempo necessário para o foguete atingir a altura de 97 metros.

foi de 5 segundos

Cálculo auxiliar a para melhor compreensão do raciocínio

Calculo do vértice da parábola em estudo

Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.

1ª etapa - Recolha de dados

y = 2 + 24x - x²

a = - 1

b = 24

c =   2

Δ = b² - 4 * a * c

Δ =  24 ² - 4 * ( - 1 )  * 2  =  576 + 8  = 584

2ª Etapa - Calcular as coordenadas do vértice

Coordenada em "x"      

x = - 24 /( 2a   ) / ( - 1 ) = - 24 / ( - 2 ) = 12

Coordenada em "y"

y = - Δ / 4a

y = - 584 / ( 4 * ( - 1 ) ) = 584 / 4  = 146

Vértice (  12 ; 146 )

Fazendo nova mudança de variáveis, voltando às originais.

A interpretação das coordenadas do vértice da parábola traçada pelo

percurso do foguete, diz-nos que ele atingiu a altura máxima de 146 m

aos 12 s de percurso.

O fato de esta função ter um máximo deve-se ao fato de ter a concavidade virada para baixo.

Nestes casos a "coordenada em y do vértice" é o ponto máximo da função.

Assim se confirma que foi possível em dois instantes diferentes o foguete atingiu a altura de 97 m.

Bom estudo

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.