Question

Um foguete apresenta, em seu lançamento, o espaço (S) percorrido, em metros, em função do tempo (t), em segundos, definido pela função: S(t) = - t³+27t²+307t+2, para t ≥ 0. Encontre a altura máxima atingida pelo foguete e também a máxima velocidade alcançada por ele. Depois de quanto tempo do lançamento o foguete atinge a altura máxima e a velocidade máxima?

Answer 1

bem, quando a altura é máxima a velocidade = 0, portanto a derivada da função S(t) será igual a zero.

-3t² + 54t + 307 = 0, com isto é possível calcular o tempo da altura máxima e então jogar na fórmula hmax = y0 + Vy0t - 1/2gt², a velocidade em y inicial é zero e a altura inicial também. Encontre o tempo, jogue os dados nesta fórmula considerando g = 10m/s² e deve achar a h max.

Bem este creio que seja o raciocínio a ser seguido para a primeira alternativa.

Answer 2

A altura máxima atingida é dada por um máximo local, e para encontrar, só terás que derivar, encontrar as raízes e substituir na função inicial.

$\displaystyle f(x) = - t^{3} + 27t^{2} + 307t + 2 \\ \\ f'(x) = -3t^{2} + 54t + 307 \\ \\ t' = 9+\frac{5\sqrt{66}}{3} \\ \\ t''=9-\frac{5\sqrt{66}}{3}$

Ou simplesmente as raízes são t' = 22,54 e t'' = -4,54.

Fazendo f(22,54) em f(x) = -t³ + 27t² + 307t + 2 chegamos a y = 9187,69 que representa um máximo local e também a altura máxima atingida pelo foguete.

A velocidade máxima alcançada por ele é um máximo local da derivada da função inicial, ou seja, um máximo local de f'(x) = -3t² + 54t + 307, já que essa função representa a velocidade do foguete. Daí faremos o mesmo procedimento:

$f(x) = -3t^{2} + 54t + 307 \\ \\ f'(x) = -6t+54 \\ \\ t' = 9$

Fazendo f(9) em f(x) = -3t² + 54t + 307 chegamos ao máximo local y = 550 que representa a velocidade máxima atingida.

O tempo ficou mais fácil ainda. E concluindo, o foguete levou 22,54 s para atingir uma altura máxima de 9187,69 m e 9 s para atingir uma velocidade máxima de 550 m/s