Question

Um fio tem resistência de 100. Acrescentando 0,5m ao comprimento, a resistência passa a ser 120W. Qual era o comprimento original do fio?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre eletrodinâmica.

Seja um fio cuja resistência é igual a $100$ Ω. Ao acrescentarmos $0,5~m$ de comprimento ao fio, sua resistência passa a ser $120$ Ω. Devemos determinar o comprimento original do fio.

Lembre-se que a resistência $R$ de um fio cujo material tem resistividade $\rho$, comprimento $L$ e sua secção transversal tem área $A$ é calculada pela Segunda Lei de Ohm: $R=\dfrac{\rho\cdot L}{A}$.

Então, considere que o fator $\dfrac{\rho}{A}=C$, uma constante arbritrária, visto que o material do fio, e logo, sua resistividade e área da secção transversal não mudam. Com isso, temos:

$R=C\cdot L$

Sabemos que para o comprimento original $L_0$, sua resistência era igual a $100$ Ω. Para seu novo comprimento $L_1$, sua resistência é igual a $120$ Ω.

Com estes dados, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}C\cdot L_0=100\\C\cdot L_1=120\\\end{cases}$

Divida a primeira equação pela segunda:

$\dfrac{C\cdot L_0}{C\cdot L_1}=\dfrac{100}{120}$

Simplifique as frações

$\dfrac{L_0}{L_1}=\dfrac{5}{6}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $L_1,~L_1\neq0$

$L_0=\dfrac{5}{6}\cdot L_1$

Sabendo que $L_1=L_0+0,5$, temos:

$L_0=\dfrac{5}{6}\cdot(L_0+0,5)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$L_0=\dfrac{5}{6}\cdot L_0+\dfrac{5}{12}$

Subtraia $\dfrac{5}{6}\cdot L_0$ em ambos os lados da igualdade

$L_0-\dfrac{5}{6}\cdot L_0=\dfrac{5}{12}\\\\\\ \dfrac{L_0}{6}=\dfrac{5}{12}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $6$

$L_0=\dfrac{5}{2}=2,5~m$

Este era o comprimento inicial do fio.