Question

Um fio delgado é preso em dois suportes fixos de mesma altura, tomando a forma

da catenária y = cosh (x), −2 ≤ x≤ 2. Supondo que a densidade do fio seja a mesma

em todos os pontos, calcular a massa do fio.
Alguém consegue? Integrais...​

Answer 1

Por meio de calculos de variação de arco integral, temos que a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.

Explicação passo-a-passo:

A definição de massa de uma fio, seria somar cada pedaço infinitezimal de massa (dm) ao longo de todo o fio, da forma:

$M=\int dm$

Mas sabemos que a densidade λ é constante, então:

λ  = M/L

Onde L é o comprimento do fio. Então

λ = dm/dl

dm = λdl

Agora precisamos determinar dl em função de x. Usando aproximações por meio de calculo de arco, sabemos que:

$dl=\sqrt{(\frac{df(x)}{dx})^2+1}dx$

Substituindo na integral:

$M=\int dm$

$M=\lambda \int\sqrt{(\frac{df(x)}{dx})^2+1}dx$

E como derivada de cosh é senh e nosso x varia de -2 a 2:

$M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(senh(x))^2+1}dx$

E sabemos também que cosh² - senh² = 1, então senh² + 1 = cosh². Assim:

$M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(senh(x))^2+1}dx$

$M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(cosh(x))^2}dx$

$M=\lambda \int\limits^2_{-2} cosh(x)dx$

Agora basta integrarmos:

$M=\lambda (senh(x))\limits^2_{-2}$

$M=2\lambda senh(2)$

Então a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.