um fio delgado e preso em dois suportes fixos de mesma algura tomando a forma da catenaria y=coshx, -2menor ou igual a x menor ou igual a 2.supondo que a densidade do fio seja a mesma em todos os pontos calcule a massa do fio
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Por meio de calculos de variação de arco integral, temos que a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.
Explicação passo-a-passo:
A definição de massa de uma fio, seria somar cada pedaço infinitezimal de massa (dm) ao longo de todo o fio, da forma:
Mas sabemos que a densidade λ é constante, então:
λ = M/L
Onde L é o comprimento do fio. Então
λ = dm/dl
dm = λdl
Agora precisamos determinar dl em função de x. Usando aproximações por meio de calculo de arco, sabemos que:
Substituindo na integral:
E como derivada de cosh é senh e nosso x varia de -2 a 2:
E sabemos também que cosh² - senh² = 1, então senh² + 1 = cosh². Assim:
Agora basta integrarmos:
Então a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.
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