Matemática, perguntado por dedeplaySPFC, 11 meses atrás

um fio delgado e preso em dois suportes fixos de mesma algura tomando a forma da catenaria y=coshx, -2menor ou igual a x menor ou igual a 2.supondo que a densidade do fio seja a mesma em todos os pontos calcule a massa do fio

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Por meio de calculos de variação de arco integral, temos que a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.

Explicação passo-a-passo:

A definição de massa de uma fio, seria somar cada pedaço infinitezimal de massa (dm) ao longo de todo o fio, da forma:

M=\int dm

Mas sabemos que a densidade λ é constante, então:

λ  = M/L

Onde L é o comprimento do fio. Então

λ = dm/dl

dm = λdl

Agora precisamos determinar dl em função de x. Usando aproximações por meio de calculo de arco, sabemos que:

dl=\sqrt{(\frac{df(x)}{dx})^2+1}dx

Substituindo na integral:

M=\int dm

M=\lambda \int\sqrt{(\frac{df(x)}{dx})^2+1}dx

E como derivada de cosh é senh e nosso x varia de -2 a 2:

M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(senh(x))^2+1}dx

E sabemos também que cosh² - senh² = 1, então senh² + 1 = cosh². Assim:

M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(senh(x))^2+1}dx

M=\lambda \int\limits^2_{-2}\sqrt{(cosh(x))^2}dx

M=\lambda \int\limits^2_{-2} cosh(x)dx

Agora basta integrarmos:

M=\lambda (senh(x))\limits^2_{-2}

M=2\lambda senh(2)

Então a massa da corda é dada por M = 2senh(2)λ.

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