Question

Um filtro de ar automotivo é fabricado dobrando-se uma folha retangular de papel filtro em formato de sanfona (uma dobra para cima e outra para baixo repetidamente) e, posteriormente, unindo-se duas laterais opostas dessa folha, de modo a formar uma superfície, Considere como "raio interno" a distância do centro do cilindro até as pontas interiores das dobras e "raio externo" a distância do centro até as pontas externas. Um filtro específico é fabricado "sanfonando" o papel 6 vezes (6 dobras para dentro e 6 dobras para fora), sem sobreposição das extremidades do papel que são unidas para formar essa superficie. Sabendo que esse filtro tem raio interno de 3 cm, raio externo de 6 cm e altura de 10 cm, a área superficial desse filtro é de:

Answer 1

As alternativas são:

a) $360\sqrt{5-2\sqrt{3}}$ cm²

b) $360\sqrt{5-\sqrt{3}}$ cm²

c) 720√3 cm²

d) 720√2 cm²

e) $360\sqrt{13+2\sqrt{3}}$ cm²

Na figura abaixo temos, em vermelho, a visão de cima do filtro de ar.

Perceba que ao ligar o centro da circunferência às pontas interiores formamos 6 arcos de 60°.

Considere que x é a medida do lado da "estrela".

Então, pela Lei dos Cossenos, temos que:

x² = 6² + 3² - 2.6.3.cos(30)

x² = 36 + 9 - 18√3

x² = 45 - 18√3

x² = 9.5 - 9.2√3

x² = 9(5 - 2√3)

$x = 3\sqrt{5-2\sqrt{3}}$

Como a altura mede 10 cm, então, a área superficial desse filtro é de:

$A = 12.10.3\sqrt{5-2\sqrt{3}}$

$A = 360\sqrt{5-2\sqrt{3}}$ cm²

Portanto, a alternativa correta é a letra a).