Um fazendeiro quer construir um cercado retangular. Para cercá-lo, dispôe de 100m de cerca de arame e uma parede já existente. Determine as dimensões desse cercado para que a área seja máxima.
Soluções para a tarefa
Como ele já tem uma parede para auxiliar na cerca, vamos usá-la para ser um das bases.
Portanto, a fórmula neste caso ficaria: base 2 + altura 1+altura 2 = 100 m de arame.
As duas alturas devem ter o mesmo tamanho, devem ter a maior dimensão possível e ainda assim, serem menores que a altura.
Dividindo 100 de maneira a termos dois números iguais (que serão o valor das bases) e um valor maior, temos que a reposta seria:
30 + 30 + 40 = 100 m
Ou seja, 30 m para cada base e 40 metros para a altura.
A área seria: base x altura = 30 x 40 = 1200m²
OBS: se você desenhar e colocar as mediadas no papel, talvez fique mais fácil de entender, no momento não posso mandar a imagem com o rascunho que fiz.
30 + 30 + 40 = 100 m
Ou seja, 30 m para cada altura e 40 metros para a base.
As dimensões desse cercado para que a área seja máxima são:
Comprimento = 25 metros;
Altura = 25 metros.
Para responder esse enunciado é preciso que você tenha conhecimento em retângulo e equação do 2º grau.
O cercado tem formato retangular, ou seja, comprimento e altura, que iremos denominar ''x'' e ''y'', respectivamente.
A área (A) é dada pelo produto do comprimento e da altura. O perímetro (P) é igual à soma de todos os lados de uma figura.
Sabendo que são 100 metros de cerca, então:
- Perímetro
P = x + x + y + y = 100
P = 2x + 2y = 100
Simplificando por 2, temos:
P = x + y = 50
- Área
A = x * y
Dessa forma, colocando o ''y'' do perímetro em evidência e substituindo-o na área, temos:
x + y = 50
y = 50 - x
A = x * y
A = x * (50 - x)
A = 50x - x²
A altura máxima (y) para que a área seja máxima equivale ao Yv (y do vértice). Sendo assim, como a equação de 2º grau foi formada, então para encontrar o valor de y, utilizamos a fórmula:
Yv = -b/2a
Observação:
O coeficiente a é aquele acompanhado pela incógnita x²;
O coeficiente b é aquele acompanhado pela incógnita x.
Yv = -b/2a
Yv = -(50)/2 * -1
Yv = -50/-2
Yv = 25 metros
Se y vale 25 metros, então:
x + y = 50
x + 25 = 50
x = 50 - 25
x = 25 metros.
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