Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados num campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como deve fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?
Soluções para a tarefa
Sabemos que a área que ele quer cercar é: 1,5 milhões de pés
Logo A = 1.500.000 pés
Sabemos também que A = x.y = 1.500.000
O perímetro de cerca que vamos usar é:
P = 2x + 2y + x (referente a cortar esse campo ao meio)
O que temos que otimizar é o perímetro, ou seja, a quantidade de cerca gasta.
Vamos deixar o perímetro apenas em função de x:
y = 1.500.000/x
Logo:
P(x) = 3x + (2*1.500.000)/x
P(x) = 3x + 3.000.000/x
Derivando:
P'(x) = -3.000.000/x² + 3
P'(x) = (-3.000.000 + 3x²)/x²
Descobrindo os números críticos:
x = 0 e x = 1.000
Porém zero não pertence ao domínio.
Descobrindo o mínimo local, temos:
P'(1) < 0
P'(15000) > 0
Logo, temos um mínimo local em x = 1000 pés
1.500.000 = x*y
1.500.000/1000 = y
y = 1500 pés
Conclui-se então que a forma de minimizar os custos da cerca é ter como dimensão dessa área a ser cercada x= 1000 pés e y = 1500 pés.