Question

um fazendeiro pretende cercar um pasto retangular ao lado de um rio. para fornecer capim suficiente para o rebanho o pasto deverá ter área de 245.000 metros quadrados. não é necessário cerca ao longo do rio. quais dimensões usarão a menor quantidade de cerca?​

Answer 1

A questão quer saber quais as medidas das cercas que irão minimizar a quantidade das mesmas, para isso a questão nos diz que o pasto deverá possuir uma área de 245000m², além de que o lado que está adjacente ao rio não precisará de cerca. Primeiramente vamos escrever a fórmula da área de um retângulo:

$\sf A = \underbrace{x }_{base}. \underbrace{ y}_{altura}$

Vamos substituir o valor de A e isolar "y":

$\sf 245000 = x.y \\ \sf y = \frac{245000}{x}$

Agora vamos montar a expressão que gerará as medidas das cercas. Como um retângulo possui os lados paralelos iguais o perímetro é dado por Perímetro = 2x + 2y, só que devemos lembrar que um dos lados não será cercado e é justamente uma das medidas de "x", então a expressão do perímetro da cerca será:

$\sf p(x) = 2y + x$

Sabemos o valor de "y" então vamos substituir:

$\sf p(x) = 2. \left( \frac{245000}{x} \right) + x \\ \sf p(x) = \frac{49000}{x} + x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf p(x) = \frac{x {}^{2} + 49000 }{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para saber o mínimo/máximo vamos usar o teste da derivada primeira e o teste da derivada segunda. No teste da derivada primeira devemos derivar a função uma única vez:

$\sf p'(x) = \frac{x {}^{2} - 49000 }{x {}^{2} }$

Após fazer a derivação vamos encontrar o ponto crítico dessa derivada, ou seja, o ponto em que f'(x) é igual a zero:

$\sf p'(x) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf\frac{x {}^{2} - 490000 }{x {}^{2} } = 0 \\ \sf x {}^{2} - 490000 = 0 \\ \sf x {}^{2} = 490000 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x = \sqrt{49000} \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x = \pm 700 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como trata-se de medidas de comprimento vamos desprezar esse valor negativo. Tendo feito tudo isso vamos pro teste da derivada segunda, ou seja, derivar a derivada da função:

$\sf p''(x) = \frac{980000}{x {}^{3} }$

Substituindo o ponto crítico nessa derivada:

$\sf p''(x) = \frac{980000}{(700) {}^{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf p''(x) = \frac{980000}{343 \: 000 \: 000} = \frac{1}{350}$

Como o valor foi positivo, quer dizer então que esse valor é um mínimo, pois:

$\sf p''(x) > 0 \to minimo \\ \sf p''(x) < 0\to maximo$

Portanto temos que x = 700m, para encontrar a outra medida "y", basta substituir na fórmula da área:

$\sf A = x.y \\ \sf 245000 = 700.y \\ \sf y = \frac{245000}{700} \\ \sf y = 350m$

• Resposta: as medidas são 700m e 350m

Espero ter ajudado