Question

Um fazendeiro possui 150 metros de um rolo de tela para cercar um jardim retangular e um pomar, aproveitando, como um dos lados, parte de um muro, conforme indica a figura seguinte:

Answer 1

Olá!

Problema de otimização utilizando cálculo diferencial. Derivação para determinar pontos de máximo/mínimo.

1) Situação com muro

Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.

Perímetro total = 3x + 3y = 150
Área total = 3yx

Isolando y na equação do perímetro

y = (150 - 3x) / 3

Substituindo o y na equação da área

A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 3] x = 150x - 3x²  (área em função do perímetro)

A = 150x - 3x²

Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x

dA/dx = (150x - 3x²)' = 0

dA/dx = 150 - 6x = 0  -->  x = 150/6 = 25 m

Depois encontra o valor de y

y = (150 - 3x) / 3 -->  y = (150 - 3(25)) / 3 = 25 m

Depois calcula a área total do cercado

Área total = 150x - 3x² = 150(25) - 3(25)² = 1875 m²

Pomar = 25(25) = 625 m²
Jardim = 50(25) = 1250 m²

2) Situação sem muro

Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.

Perímetro total = 3x + 6y = 150
Área total = 3yx

Isolando y na equação do perímetro

y = (150 - 3x) / 6

Substituindo o y na equação da área

A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 6] x = 75x - 3/2x²  (área em função do perímetro)

A = 75x - 3/2x²

Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x

dA/dx = (75x - 3/2x²)' = 0

dA/dx = 75 - 3x = 0  -->  x = 75/3 = 25 m

Depois encontra o valor de y

y = (150 - 3x) / 6 -->  y = (150 - 3(25)) / 6 = 12,5 m

Depois calcula a área total do cercado

Área total = 75x - 3/2x² = 75(25) - 3/2(25)² = 937,5 m²

Pomar = 25(12,5) = 312,5 m²
Jardim = 25(25) = 625 m²

Análise das áreas

Comparando-se as áreas com muro e sem muro tem-se que:

Área com muro = 1875,0 m²
Área sem muro = 937,5 m²

Relação = área sem muro / área com muro = 937,5 / 1875,0 = 0,50 = 50%

A redução de área comparando-se sem o muro e com o muro foi de 50%.