Um fazendeiro possui 150 metros de um rolo de tela para cercar um jardim retangular e um pomar, aproveitando, como um dos lados, parte de um muro, conforme indica a figura seguinte:
Anexos:
Soluções para a tarefa
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171
Olá!
Problema de otimização utilizando cálculo diferencial. Derivação para determinar pontos de máximo/mínimo.
1) Situação com muro
Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.
Perímetro total = 3x + 3y = 150
Área total = 3yx
Isolando y na equação do perímetro
y = (150 - 3x) / 3
Substituindo o y na equação da área
A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 3] x = 150x - 3x² (área em função do perímetro)
A = 150x - 3x²
Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x
dA/dx = (150x - 3x²)' = 0
dA/dx = 150 - 6x = 0 --> x = 150/6 = 25 m
Depois encontra o valor de y
y = (150 - 3x) / 3 --> y = (150 - 3(25)) / 3 = 25 m
Depois calcula a área total do cercado
Área total = 150x - 3x² = 150(25) - 3(25)² = 1875 m²
Pomar = 25(25) = 625 m²
Jardim = 50(25) = 1250 m²
2) Situação sem muro
Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.
Perímetro total = 3x + 6y = 150
Área total = 3yx
Isolando y na equação do perímetro
y = (150 - 3x) / 6
Substituindo o y na equação da área
A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 6] x = 75x - 3/2x² (área em função do perímetro)
A = 75x - 3/2x²
Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x
dA/dx = (75x - 3/2x²)' = 0
dA/dx = 75 - 3x = 0 --> x = 75/3 = 25 m
Depois encontra o valor de y
y = (150 - 3x) / 6 --> y = (150 - 3(25)) / 6 = 12,5 m
Depois calcula a área total do cercado
Área total = 75x - 3/2x² = 75(25) - 3/2(25)² = 937,5 m²
Pomar = 25(12,5) = 312,5 m²
Jardim = 25(25) = 625 m²
Análise das áreas
Comparando-se as áreas com muro e sem muro tem-se que:
Área com muro = 1875,0 m²
Área sem muro = 937,5 m²
Relação = área sem muro / área com muro = 937,5 / 1875,0 = 0,50 = 50%
A redução de área comparando-se sem o muro e com o muro foi de 50%.
Problema de otimização utilizando cálculo diferencial. Derivação para determinar pontos de máximo/mínimo.
1) Situação com muro
Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.
Perímetro total = 3x + 3y = 150
Área total = 3yx
Isolando y na equação do perímetro
y = (150 - 3x) / 3
Substituindo o y na equação da área
A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 3] x = 150x - 3x² (área em função do perímetro)
A = 150x - 3x²
Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x
dA/dx = (150x - 3x²)' = 0
dA/dx = 150 - 6x = 0 --> x = 150/6 = 25 m
Depois encontra o valor de y
y = (150 - 3x) / 3 --> y = (150 - 3(25)) / 3 = 25 m
Depois calcula a área total do cercado
Área total = 150x - 3x² = 150(25) - 3(25)² = 1875 m²
Pomar = 25(25) = 625 m²
Jardim = 50(25) = 1250 m²
2) Situação sem muro
Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.
Perímetro total = 3x + 6y = 150
Área total = 3yx
Isolando y na equação do perímetro
y = (150 - 3x) / 6
Substituindo o y na equação da área
A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 6] x = 75x - 3/2x² (área em função do perímetro)
A = 75x - 3/2x²
Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x
dA/dx = (75x - 3/2x²)' = 0
dA/dx = 75 - 3x = 0 --> x = 75/3 = 25 m
Depois encontra o valor de y
y = (150 - 3x) / 6 --> y = (150 - 3(25)) / 6 = 12,5 m
Depois calcula a área total do cercado
Área total = 75x - 3/2x² = 75(25) - 3/2(25)² = 937,5 m²
Pomar = 25(12,5) = 312,5 m²
Jardim = 25(25) = 625 m²
Análise das áreas
Comparando-se as áreas com muro e sem muro tem-se que:
Área com muro = 1875,0 m²
Área sem muro = 937,5 m²
Relação = área sem muro / área com muro = 937,5 / 1875,0 = 0,50 = 50%
A redução de área comparando-se sem o muro e com o muro foi de 50%.
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