Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de R$ 800,00. O material da cerca do lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e o material dos outros dois lados da cerca custa R$ 10,00 por metro. Quais são as dimensões dos lados desse cercado para que ele possua a maior área possível com o custo de R$ 800,00?
Soluções para a tarefa
Resposta:
10x+10x+5y=800 um lado de 5 não entra pois este é o muro
A=xy
20x+5y=800 5y=800-20x y= 800-20x/5 y= 160-4x
A=x(160-4x)
A= -4x^2+160x o ponto de x maximo é -b/2a
-160/2.(-4) = -160/-8 = A= X = 20m
x=20
substituindo em y=160-4x = y= 160- 4.20 = 160- 80
fica y= 80
As dimensões são 20 e 80 para que a cerca seja máxima
As dimensões para que a área seja a maior possível é 20 metros por 80 metros.
Cálculo de áreas
A área de uma figura ou região é definida como a extensão da superfície ocupada pela figura em um plano.
O custo total da cerca será dado por:
C = 5x + 10·2y
onde x é a dimensão paralela ao muro e y é a dimensão dos outros dois lados. Sabemos que C deve ser igual a R$800,00 e que o produto xy deve ser o maior possível.
A área será dada por A = xy, logo, temos:
800 = 5x + 20y
5x = 800 - 20y
x = 160 - 4y
A área será:
A = (160 - 4y)·y
A = 160y - 4y²
Como A é uma equação quadrática com coeficiente a negativo, A terá área máxima quando y for igual a coordenada x do vértice:
xV = -b/2a
xV = -160/2·(-4)
xV = -160/-8
xV = 20 m
Temos então:
x = 160 - 4·20
x = 80 m
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