Um fazendeiro decidiu construir um cercado retangular usando um dos lados apoiado em um galpão (fig.2). Sabendo que ele fará três linhas de arame farpado. Contudo para efeito de cálculo usaremos como referência apenas uma linha de arame com 220 metros.
Usando os conceitos de otimização, calcule o valor dos lados desse retângulo que produzem a área máxima.
Assinale a resposta que corresponde a forma correta e justificando com os cálculos com seus cálculos:
a) o menor lado será de 50 metros e o maior lado terá 100 metros.
b) o menor lado será de 35 metros e o maior lado terá 130 metros.
c) o menor lado será de 55 metros e o maior lado terá 110 metros.
d) o menor lado será de 20 metros e o maior lado terá 160 metros.
e) o menor lado será de 45 metros e o maior lado terá 110 metros.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) o menor lado será de 50 metros e o maior lado terá 100 metros.
Explicação passo-a-passo:
Os valores dos lados desse retângulo que produzem a área máxima são: x = 50 metros e y = 100 metros.
Inicialmente, vamos escrever as equações que podemos utilizar para calcular a área e o perímetro da cerca. A área é resultado do produto entre as duas medidas, X e Y, enquanto o perímetro é igual ao somatório das medidas, equivalente a 200 metros.
200=2x+y
A=xy
Vamos isolar o valor de Y na equação do perímetro e substituir na equação da área. Dessa maneira, vamos ter uma função apenas com a incógnita X. Vamos derivar essa nova função e igualar a zero para determinar o valor de X máximo.
y=200-2x
A= x (200-2x)= 200x-2x²
A= 200-4x= 0
x= 50 Metros
Com esse valor de X, podemos determinar o valor de Y que também maximiza o retângulo. Portanto:
y= 200-2 * 50
y= 100 Metros