Question

Um fabricante vende cada um de seus televisores por R$ 85,00

O custo C de fabricação é C = 1500 + 10x + 0,005x^2

a) Qual a função que representa a renda desse fabricante
b) Se no máximo 10000 televisores podem ser produzidos por semana, quantos deveriam ser fabricados para que o lucro seja máximo?

Answer 1

Lucro (x) =Renda (x) - Custo(x), se x é a quantidade de televisores vendidas, logo:

a) L = R - C
R = L + C
ou
R(x) = 85x

b) Questão de máximos e mínimos locais. Queremos o ponto máximo com D(f) entre 0 e 10000. Vamos lá

Primeiro efetue a derivada do lucro L(x)

L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 85x - 1500 - 10x - 0,005x²
L(x) = -0,005x² + 75x - 1500

L '(x) = -0,01x + 75

Depois iguale a derivada primeira a 0 para achar os pontos críticos ( L '(x) = 0)

0 = 75 - 0,01x
0,01x = 75
X = 7500

Agora analisaremos x= 7500 pois ele é um ponto crítico, vamos admitir 1 valor para antes e 1 valor para depois de x = 7500.

Vamos pegar os valores de L '(0) e L '(10000) para fazermos contas faceis

L'(0) = 75 - 0 = 75
L '(10000) = 75 - 100 = -25

Se o coeficiente angular é positivo antes do ponto crítico e o coeficiente angular é negativo depois do ponto criticocrítico, temos um PONTO MÁXIMO. Ou seja, quando X for 7500, L(x) terá o seu valor máximo e como queremos valores de até 10000, 7500 é a resposta.

Resposta: Para que o lucro semanal seja máximo, deve-se produzir 7500 televisores.