Question

Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão medindo 10 cm por 15cm. Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão, como indica a figura a seguir. Determine o valor de x que maximiza o volume da caixa.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Pois bem Meu Caro, o conceito de otimização é bem simples comparado a modelagem do exercício.

Agora, seria bom que seus conceitos sobre funções estivessem bem fixados para que o entendimento seja o mais claro possível.

Taxa de Otimização é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a conhecer  os máximos e mínimos de uma função sem que tenhamos que "plotá-la" num gráfico. Veja que no problema, o fabricante quer saber a dimensão do lado da caixa para ter o MÁXIMO volume possível, e como o volume varia em função de x, temos uma função V(x).

Neste caso o exercício nos traz um problema de modelagem que é aplicação da matemática em um problema da vida cotidiana.

                                               $V(x)= A_b(x)*x\\A_b(x)= a*b$      

  E, a e b variam de acordo com x, Vide Anexo. Essa talvez seja a parte mais complexa do problema.

Após isso meu Caro é só aplicar a  $\frac{dV(x)}{dx}=0$  e você encontrará os pontos em x para quando a função V(x)  tem  máximos e mínimos.

Você encontrará dois valores um de Máximo e um de mínimo.

Não seria necessário mas eu anexei os gráficos de V(x)  e $\frac{dV(x)}{dx}$ .

Observe os Gráficos: a função verde é V(x) e a cinza é $\frac{dV(x)}{dx}$.

Os pontos C e D são o máximo e o mínimo de V(x) respectivamente.

E os pontos B e A são as raízes de $\frac{dV(x)}{dx}$  , ou seja,$\frac{dV(x)}{dx}=0$ .

Valor dos pontos:

A= 6,37 ===> x para quando o volume é negativo.

B= 1,96

C= 66,01

D= -19,72 ====> valor do volume negativo.

A resposta da questão seria:

O lado caixa, ou seja, o valor de x para o máximo volume é de 1,96 u.c (unidades de comprimento). O outro ponto não serve pois o valor do volume seria negativo e isso na vida real, não existe.

Obtendo-se assim um volume máximo de 66,01 u.v (unidades de volume), para as características da caixa desejada pelo fabricante.